Obtenha m na equação (m+2)!=72 cdot m !

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de m que satisfaz
(m+2)! = 72 cdot m!
Trata-se de uma equação envolvendo fatoriais. Vamos usar a propriedade de fatoriais para simplificar.

Passo 2

Usamos que (m+2)! = (m+2)(m+1),m!. Substituindo na equação, obtemos
(m+2)(m+1),m! = 72,m!
Como para todo inteiro m>=0 temos m! neq 0, podemos dividir ambos os lados por m!, ficando
(m+2)(m+1) = 72

Passo 3

Expandindo o produto, vem
m^2 + 3m + 2 = 72
Subtraindo 72 dos dois lados, fica
m^2 + 3m - 70 = 0

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática
m^2 + 3m - 70 = 0
usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = 3^2 - 4cdot1cdot(-70) = 9 + 280 = 289,
logo raizDe<a=17. Assim
m = -3 pm 172
Isso dá as raízes
m = -3 + 172 = 7 ou m = -3 - 172 = -10

Passo 5

Fatoriais estão definidos para inteiros não negativos, isto é, m>=0. Portanto descartamos m=-10 e ficamos com
m = 7

Resposta

7

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