Obtenha a função inversa das seguintes funções:
A={x ∈ ℝ ∣ x ⩾ 1} e B={y ∈ ℝ ∣ y ⩾-1}
f: A → B
f(x)=x^{2}-2 x

Passo 1

O enunciado pede a inversa da função
fcolon A to B com
A=xinRmid x>=1,
B=yinRmid y>=-1 e
f(x)=x^2-2x
Vamos usar a ideia de trocar x por y, resolver a equação quadrática e depois impor a restrição x>=1.

Passo 2

Começamos escrevendo
y = x^2 - 2x
e reorganizamos para formar a equação quadrática em x:
x^2 - 2x - y = 0

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara em
x^2 - 2x - y = 0:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot(-y)2cdot1 = 2 pm raiz4 + 4y2

Passo 4

Simplificando a raiz e o coeficiente:
x = 1 pm raiz1 + y
Como y>=-1, raiz1+y existe e é não–negativa.

Passo 5

De 1pmraiz1+y, só o sinal + x>=1. O ramo
;1-raiz1+y<=1 é inválido pois violaria a condição x>=1.
Logo a inversa é
f^-1(y)=1+raiz1+y, y>=-1

Resposta

f^-1(y)=1+raiz1+y, domínio y>=-1 í

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