Sejam as funções reais f e g definidas por f(x)=x^2-4 x+1 e g(x)=x^2-1. Obtenha as leis que definem f circ g e g circ f.

Passo 1

O enunciado dá duas funções polinomiais
f(x) = x^2 - 4x + 1
e
g(x) = x^2 - 1
e pede as composições fcirc g e gcirc f. Para isso, vamos usar a definição de composição:
(fcirc g)(x) = fl(g(x)r), (gcirc f)(x) = gl(f(x)r)

Passo 2

Para obter (fcirc g)(x), substituímos g(x) na expressão de f:
(fcirc g)(x) = fl(g(x)r) = fl(x^2-1r) = l(x^2-1r)^2 - 4l(x^2-1r) + 1
Agora expandimos o quadrado e simplificamos:
l(x^2-1r)^2 = x^4 - 2x^2 + 1, -4l(x^2-1r) = -4x^2 + 4
Somando tudo:
x^4 - 2x^2 + 1 - 4x^2 + 4 + 1 = x^4 - 6x^2 + 6

Passo 3

Para obter (gcirc f)(x), substituímos f(x) na expressão de g:
(gcirc f)(x) = gl(f(x)r) = gl(x^2-4x+1r) = l(x^2-4x+1r)^2 - 1
Expandindo o quadrado:
l(x^2-4x+1r)^2 = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 8x + 1,
e subtraindo 1:
x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 8x + 1 - 1 = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 8x

Resposta

(fcirc g)(x) = x^4 - 6x^2 + 6, (gcirc f)(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 8x

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