Obtenha uma P.A. de 4 termos inteiros em que a soma dos termos é 32 e o produto é 3465.

Solução

Empregando a notação especial ( x-3 y, x-y, x+y, x+3 y ), temos:
l (x-3 y)+(x-y)+(x+y)+(x+3 y)=32 (x-3 y)(x-y)(x+y)(x+3 y)=3465
De (1) vem 4 x=32, isto é, x=8.
Substituindo em (2) o valor de x, temos:
(8-3 y) cdot(8-y) cdot(8+y) cdot(8+3 y)=3465 Rightarrow(64-9 y^2) cdot(64-y^2)=3465
9 y^4-640 y^2+631=0 Rightarrow y= pm raiz640 pm raiz38688418= pm raiz640 pm 62218
então, y=1 ou y=-1 ou y=raiz6313 ou y=-raiz6313.
Como a P.A. deve ter elementos inteiros, só convêm as duas primeiras. Assim, temos:
x=8 e y=1 Rightarrow(5,7,9,11)
x=8 e y=-1 Rightarrow(11,9,7,5)

Passo 1

O enunciado pede uma progressão aritmética (P.A.) de quatro termos inteiros cuja soma é 32 e cujo produto é 3465. Para resolver, vamos usar a forma simétrica dos termos de uma P.A.:
x-3y,;x-y,;x+y,;x+3y
Aqui, x é o termo médio e y é a razão “dividida por 2”.

Passo 2

Da soma dos quatro termos temos:
(x-3y)+(x-y)+(x+y)+(x+3y)=32
Isso simplifica para
4x=32

Passo 3

Daí logo obtemos
x=8
Agora usamos o produto dos termos:
(x-3y)(x-y)(x+y)(x+3y)=3465

Passo 4

Substituindo x=8 no produto e agrupando fatores simétricos:
(8-3y)(8+3y),(8-y)(8+y)=3465
(64-9y^2),(64-y^2)=3465
Expandindo, fica
4096 -640y^2 +9y^4 =3465 ;Longrightarrow; 9y^4 -640y^2 +631=0
Fazendo z=y^2, temos
9z^2 -640z +631=0,
cuja discriminante é De<a=640^2-4cdot9cdot631=386884, raizDe<a=622. Logo
z=640pm62218 ;Longrightarrow; z1=1, z2=6319

Passo 5

Isso dá
y^2=1ou y^2=6319
Como queremos y inteiro, só vale y=pm1. Assim:
  • Se y=1, x=8 e os termos são (8-3,,8-1,,8+1,,8+3)=(5,7,9,11).
  • Se y=-1, obtemos a P.A. inversa (11,9,7,5).

Resposta

A progressão aritmética inteira solicitada é
(5,,7,,9,,11)
ou, invertendo a ordem,
(11,,9,,7,,5)

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