Obtenha uma P.A. de 4 termos inteiros em que a soma dos termos é 32 e o produto é 3465.
Solução
Empregando a notação especial (
), temos:
De (1) vem
, isto é,
.
Substituindo em (2) o valor de
, temos:
então,
ou
ou
ou
.
Como a P.A. deve ter elementos inteiros, só convêm as duas primeiras. Assim, temos:
e
e
então,
Passo 1
O enunciado pede uma progressão aritmética (P.A.) de quatro termos inteiros cuja soma é 32 e cujo produto é 3465. Para resolver, vamos usar a forma simétrica dos termos de uma P.A.:
Aqui,
é o termo médio e
é a razão “dividida por 2”.
Passo 2
Da soma dos quatro termos temos:
Isso simplifica para
Passo 3
Daí logo obtemos
Agora usamos o produto dos termos:
Passo 4
Substituindo
no produto e agrupando fatores simétricos:
Expandindo, fica
Fazendo
, temos
cuja discriminante é
,
. Logo
Passo 5
Isso dá
Como queremos
inteiro, só vale
. Assim:
- Se
, e os termos são . - Se
, obtemos a P.A. inversa .
Resposta
A progressão aritmética inteira solicitada é
ou, invertendo a ordem,