Se a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e a soma dos 20 primeiros termos também é 50, determine o valor da soma dos 30 primeiros termos.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma progressão aritmética (PA) cujo primeiro termo é a1 e razão d. Sabemos que a soma dos 10 primeiros termos é 50 e a soma dos 20 primeiros termos também é 50. Queremos encontrar a soma dos 30 primeiros termos, usando a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma PA:
Sn = n2l(2a1 + (n-1)dr)

Passo 2

Aplicando a fórmula para n=10, temos
S10 = 102l(2a1 + 9dr) = 50
Logo,
2a1 + 9d = 10
(Equação 1)

Passo 3

Aplicando a fórmula para n=20, obtemos
S20 = 202l(2a1 + 19dr) = 50
Logo,
2a1 + 19d = 5
(Equação 2)

Passo 4

Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(2a1 + 19d) - (2a1 + 9d) = 5 - 10 Longrightarrow 10d = -5 Longrightarrow d = -tfrac12
Substituindo em 2a1 + 9d = 10,
2a1 + 9l(-tfrac12r) = 10 Longrightarrow 2a1 - tfrac92 = 10 Longrightarrow 2a1 = tfrac292 Longrightarrow a1 = tfrac294

Passo 5

Agora calculamos S30:
S30 = 302l(2a1 + 29dr) = 15l(2cdottfrac294 + 29cdotl(-tfrac12r)r) = 15l(tfrac292 - tfrac292r) = 15 cdot 0 = 0

Resposta

A soma dos 30 primeiros termos é 0.

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