Obtenha uma P.A. decrescente com 5 termos cuja soma é -10 e a soma dos quadrados é 60.

Passo 1

O enunciado pede uma progressão aritmética (P.A.) decrescente com cinco termos, cujo somatório é -10 e a soma dos quadrados dos termos é 60. Vamos usar a forma geral de uma P.A. de cinco termos e impor essas duas condições para determinar o primeiro termo a e a razão d.

Passo 2

Seja a P.A.
a,;a+d,;a+2d,;a+3d,;a+4d
O somatório dos cinco termos é
sumk=0^4(a+kd)=5a + (0+1+2+3+4),d = 5a + 10d
Pela condição do enunciado,
5a + 10d = -10
Dividindo por 5, obtemos
a + 2d = -2 Longrightarrow a = -2 - 2d

Passo 3

A soma dos quadrados dos termos vale
sumk=0^4(a+kd)^2 =5a^2 + 2a,d,(0+1+2+3+4) + d^2(0^2+1^2+2^2+3^2+4^2) =5a^2 + 20a,d + 30d^2
O enunciado diz que isso é 60, logo
5a^2 + 20a,d + 30d^2 = 60

Passo 4

Substituindo a = -2 - 2d na equação anterior:
5(-2 -2d)^2 + 20(-2 -2d),d + 30d^2 = 60
Calculando passo a passo:
(-2 - 2d)^2 = 4 + 8d + 4d^2,
5(4 + 8d + 4d^2) = 20 + 40d + 20d^2,
20(-2 -2d),d = -40d -40d^2
Somando tudo:
20 + 40d + 20d^2 ;-; 40d - 40d^2 ;+;30d^2 =20 + 10d^2
Logo a equação fica
20 + 10d^2 = 60 Longrightarrow 10d^2 = 40 Longrightarrow d^2 = 4

Passo 5

Temos d = pm 2. Como a P.A. deve ser decrescente, escolhemos
d = -2
Então
a = -2 - 2(-2) = -2 + 4 = 2
Os cinco termos são
2,;2+(-2),;2+2(-2),;2+3(-2),;2+4(-2) ;Longrightarrow; 2,;0,;-2,;-4,;-6
Verificamos que a soma é 2+0-2-4-6=-10 e a soma dos quadrados é 4+0+4+16+36=60.

Resposta

A progressão aritmética decrescente é
2,;0,;-2,;-4,;-6

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