Obtenha os polinômios de Laguerre
que satisfazem a equação
Observe que
é ponto de singularidade para
.
Observação:
A nomenclatura para estes polinômios, em geral, se ạplica aos polinômios “normalizados”, que formam uma base especial de
.
Observação:
A nomenclatura para estes polinômios, em geral, se ạplica aos polinômios “normalizados”, que formam uma base especial de
Passo 1
O enunciado pede para achar os polinômios de Laguerre
que satisfazem a equação diferencial
sabendo que
é ponto singular regular. O conteúdo aqui é aplicar o método de Frobenius em torno de
para obter uma solução polinomial.
Passo 2
Assumimos uma solução em série de Frobenius
Substituindo em
e igualando o termo de menor potência obtemos a equação indicial
cujas raízes são
e
. Para garantir regularidade em
escolhemos
.
Passo 3
Considerando
e coletando coeficientes de
na série, chega-se à relação de recorrência
Para que a série termine (e gere um polinômio de grau
) precisamos de
, o que ocorre naturalmente quando
.
Passo 4
Escolhendo
(normalização) e aplicando recursivamente, obtém-se
Portanto a solução polinomial é
Passo 5
Uma forma alternativa (fórmula de Rodrigues) bastante usada para estes polinômios é