Obtenha os polinômios de Laguerre Ln(alpha) que satisfazem a equação
L u=0 ; L=x D^2+(alpha+1-x) D+n
Observe que x=0 é ponto de singularidade para L.
Observação:
A nomenclatura para estes polinômios, em geral, se ạplica aos polinômios “normalizados”, que formam uma base especial de N(L).

Passo 1

O enunciado pede para achar os polinômios de Laguerre !Ln^(alpha)(x) que satisfazem a equação diferencial
Lu=0, L=xD^2+(alpha+1-x)D+n,
sabendo que x=0 é ponto singular regular. O conteúdo aqui é aplicar o método de Frobenius em torno de x=0 para obter uma solução polinomial.

Passo 2

Assumimos uma solução em série de Frobenius
u(x)=sumk=0^inftyak,x^k+r
Substituindo em Lu=0 e igualando o termo de menor potência obtemos a equação indicial
r(r+alpha)=0,
cujas raízes são r=0 e r=-alpha. Para garantir regularidade em x=0 escolhemos r=0.

Passo 3

Considerando r=0 e coletando coeficientes de x^k na série, chega-se à relação de recorrência
ak+1 =k-n(k+1)(k+alpha+1),ak
Para que a série termine (e gere um polinômio de grau n) precisamos de an+1=0, o que ocorre naturalmente quando k=n.

Passo 4

Escolhendo a0=1 (normalização) e aplicando recursivamente, obtém-se
ak =(-1)^kk!binomn+alpha,n-k,, k=0,1,dots,n
Portanto a solução polinomial é
Ln^(alpha)(x) =sumk=0^n(-1)^kk! binomn+alpha,n-k,,x^k

Passo 5

Uma forma alternativa (fórmula de Rodrigues) bastante usada para estes polinômios é
Ln^(alpha)(x) =x^-alpha,e^xn! ;d^ndx^nl(e^-x,x^n+alphar)

Resposta

Ln^(alpha)(x) =sumk=0^n(-1)^kk! binomn+alpha,n-k,,x^k ou Ln^(alpha)(x) =x^-alpha,e^xn! d^ndx^nl(e^-x,x^n+alphar)

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