Obtenha as soluções das equações como séries de potências até a sexta ordem:
,
(Idem)
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potências, em torno de
, da equação diferencial
com condição inicial
. Vamos supor uma expansão
e determinar os coeficientes
até
igualando os coeficientes de potências em ambos os lados da EDO.
Passo 2
Primeiro escrevemos a série de
e sua derivada:
A condição
dá
.
Passo 3
Expandimos
em série até termo em
. Usando
e compondo com
, obtemos
Passo 4
Expandimos também
até
:
Somando, o lado direito da EDO é
Passo 5
Igualando termo a termo com
, obtemos as equações recursivas:
constante: .
coeficiente de :
.
coeficiente de :
.
coeficiente de :
.
coeficiente de :
.
coeficiente de :
.
constante:
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
Passo 6
Reunindo os coeficientes, a solução em série até a sexta ordem é