Obtenha as soluções das equações como séries de potências até a sexta ordem:
u^prime=e^u+x u, u(0)=0 (Idem)

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências, em torno de x=0, da equação diferencial
u'(x)=e^u(x)+x,u(x),
com condição inicial u(0)=0. Vamos supor uma expansão
u(x)=sumn=0^inftyanx^n
e determinar os coeficientes an até n=6 igualando os coeficientes de potências em ambos os lados da EDO.

Passo 2

Primeiro escrevemos a série de u e sua derivada:
u(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5+a6x^6+cdots,
u'(x)=a1+2a2x+3a3x^2+4a4x^3+5a5x^4+6a6x^5+cdots
A condição u(0)=0 a0=0.

Passo 3

Expandimos e^u(x) em série até termo em x^5. Usando
e^u=1+u+u^22+u^36+u^424+u^5120+cdots
e compondo com u(x)=a1x+a2x^2+cdots+a5x^5, obtemos
e^u(x)=1 +a1x +l(a2+tfrac12a1^2r)x^2 +l(a3+a1a2+tfrac16a1^3r)x^3
+l(a4+a1a3+tfrac12a2^2+tfrac12a1^2a2+tfrac124a1^4r)x^4 +l(a5+a1a4+a2a3+tfrac12a1^2a3+tfrac12a1a2^2+tfrac16a1^3a2+tfrac1120a1^5r)x^5 +cdots

Passo 4

Expandimos também x,u(x) até x^5:
x,u(x)=a1x^2+a2x^3+a3x^4+a4x^5+cdots
Somando, o lado direito da EDO é
e^u(x)+x,u(x) =1 +a1x +l(a2+tfrac12a1^2 +a1r)x^2 +l(a3+a1a2+tfrac16a1^3 +a2r)x^3
+l(a4+a1a3+tfrac12a2^2+tfrac12a1^2a2+tfrac124a1^4 +a3r)x^4 +l(a5+a1a4+a2a3+tfrac12a1^2a3+tfrac12a1a2^2+tfrac16a1^3a2+tfrac1120a1^5 +a4r)x^5 +cdots

Passo 5

Igualando termo a termo com u'(x)=a1+2a2x+3a3x^2+4a4x^3+5a5x^4+6a6x^5+cdots, obtemos as equações recursivas:
constante: a1=1.
coeficiente de x: 2a2=a1implies a2=tfrac12.
coeficiente de x^2: 3a3=a2+tfrac12a1^2+a1=2implies a3=tfrac23.
coeficiente de x^3: 4a4=a3+a1a2+tfrac16a1^3+a2=tfrac116implies a4=tfrac1124.
coeficiente de x^4: 5a5=a4+a1a3+tfrac12a2^2+tfrac12a1^2a2+tfrac124a1^4+a3=tfrac5324implies a5=tfrac53120.
coeficiente de x^5: 6a6=tfrac269120implies a6=tfrac269720.

Passo 6

Reunindo os coeficientes, a solução em série até a sexta ordem é
u(x)=x+tfrac12x^2+tfrac23x^3+tfrac1124x^4+tfrac53120x^5+tfrac269720x^6+O(x^7)

Resposta

u(x)=x+tfrac12x^2+tfrac23x^3+tfrac1124x^4+tfrac53120x^5+tfrac269720x^6+O(x^7)

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