Obtenha as soluções das equações como séries de potências até a sexta ordem:
,
e
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial
sujeita às condições iniciais
e
, usando séries de potências até a ordem
. O conteúdo aqui é método de série de potências para EDOs, ou seja, assumimos
e determinamos os coeficientes
via substituição na equação.
Passo 2
Assumimos
Então
e
Substituindo em
temos
Passo 3
Para igualar potências, defina
no lado esquerdo e
no direito. O resultado é a condição de recorrência, para
:
onde interpretamos
.
Passo 4
Usando as condições iniciais:
Agora calculemos em ordem crescente de índice:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Passo 5
Reúnindo até a ordem
, somente aparecem termos não nulos em
e
. Assim