Obtenha as soluções das equações como séries de potências até a sexta ordem:
u^prime prime=-x u, u(0)=0 e u^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
u''(x) = -,x,u(x)
sujeita às condições iniciais u(0)=0 e u'(0)=1, usando séries de potências até a ordem x^6. O conteúdo aqui é método de série de potências para EDOs, ou seja, assumimos
u(x)=sumn=0^inftyanx^n
e determinamos os coeficientes an via substituição na equação.

Passo 2

Assumimos
u(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
u''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2,
e
-x,u(x)=-sumn=0^inftyan,x^n+1
Substituindo em u''=-x,u temos
sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2 ;=;-,sumn=0^inftyan,x^n+1

Passo 3

Para igualar potências, defina k=n-2 no lado esquerdo e k=n+1 no direito. O resultado é a condição de recorrência, para k>=0:
(k+2)(k+1),ak+2 ;=;-,ak-1,
onde interpretamos a-1=0.

Passo 4

Usando as condições iniciais:
a0 = u(0)=0, a1 = u'(0)=1
Agora calculemos em ordem crescente de índice:
  • Para k=0: 2cdot1,a2=-a-1=0 implies a2=0.
  • Para k=1: 3cdot2,a3=-a0=0 implies a3=0.
  • Para k=2: 4cdot3,a4=-a1=-1 implies a4=-tfrac112.
  • Para k=3: 5cdot4,a5=-a2=0 implies a5=0.
  • Para k=4: 6cdot5,a6=-a3=0 implies a6=0.

Passo 5

Reúnindo até a ordem x^6, somente aparecem termos não nulos em n=1 e n=4. Assim
u(x)=a1x + a4x^4 + cdots = x ;-;112x^4 ;+;O(x^7)

Resposta

u(x)=x ;-;112x^4 ;+;O(x^7)

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