Obtenha os polinômios de Tchebychev
que satisfazem a equação
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os polinômios
de Tchebychev que satisfazem a equação diferencial
Isso envolve equações diferenciais ordinárias e polinômios ortogonais. Vamos usar a mudança de variável
e identidades trigonométricas para resolver.
Passo 2
Com a substituição
temos
Ao inserir essas expressões em
, toda a dependência em
entra via
e a equação se reduz a
A solução geral desta EDO é
Passo 3
Como queremos um polinômio em
, escolhemos
e definimos
Isso garante que
satisfaz
e que
é um polinômio de grau
.
Passo 4
Para obter uma forma recursiva, usamos a identidade
Em termos de
, isso dá
com condições iniciais
Passo 5
Aplicando a recorrência e as condições iniciais, obtemos alguns
explícitos:
Resposta
A família de polinômios de Tchebychev de primeira espécie é
satisfazendo