Obtenha os polinômios de Tchebychev Tn que satisfazem a equação
L u=0 ; L=(1-x^2) D^2-x D+n^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os polinômios Tn de Tchebychev que satisfazem a equação diferencial
Lu=0, L=(1-x^2)D^2 - xD + n^2
Isso envolve equações diferenciais ordinárias e polinômios ortogonais. Vamos usar a mudança de variável x=costheta e identidades trigonométricas para resolver.

Passo 2

Com a substituição theta=arccos x temos
dudx=-1sintheta,dudtheta, d^2udx^2=1sin^2theta,d^2udtheta^2 -costhetasin^3theta,dudtheta
Ao inserir essas expressões em Lu=0, toda a dependência em x entra via theta e a equação se reduz a
d^2udtheta^2 + n^2,u = 0
A solução geral desta EDO é
u(theta)=Acos(ntheta)+Bsin(ntheta)

Passo 3

Como queremos um polinômio em x, escolhemos B=0 e definimos
Tn(x)=cosl(narccos xr)
Isso garante que Tn satisfaz LTn=0 e que Tn é um polinômio de grau n.

Passo 4

Para obter uma forma recursiva, usamos a identidade
cos((n+1)theta)+cos((n-1)theta)=2costheta,cos(ntheta)
Em termos de Tn, isso dá
Tn+1(x)=2x,Tn(x)-Tn-1(x),
com condições iniciais
T0(x)=1, T1(x)=x

Passo 5

Aplicando a recorrência e as condições iniciais, obtemos alguns Tn explícitos:
T2(x)=2x^2-1, T3(x)=4x^3-3x, T4(x)=8x^4-8x^2+1,;dots

Resposta

A família de polinômios de Tchebychev de primeira espécie é
Tn(x)=cosl(narccos xr),
satisfazendo
T0(x)=1, T1(x)=x, Tn+1(x)=2x,Tn(x)-Tn-1(x)

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