Obtenha as soluções das equações como séries de potências até a sexta ordem:
u^prime prime-e^x u=0, u(0)=0 e u^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação
u'' - e^x,u = 0
com condições iniciais u(0)=0 e u'(0)=1, na forma de série de potências em torno de x=0 até a ordem x^6. Vamos usar a técnica de séries de potências: expandir u(x) e e^x, substituir na equação e igualar coeficientes.

Passo 2

Assumimos
u(x)=sumn=0^inftyan,x^n, e^x=sumk=0^inftyx^kk!
Então
u''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,x^n
e
e^x,u(x) =l(sumk=0^inftyx^kk!r) l(summ=0^inftyam,x^mr) =sumn=0^inftyl(sumk=0^na,n-kk!r)x^n

Passo 3

Substituindo em u''-e^x,u=0 e igualando coeficiente de x^n a zero, obtemos a relação de recorrência
(n+2)(n+1),an+2 =sumk=0^na,n-kk!, n>=0

Passo 4

Das condições iniciais vem
u(0)=a0=0, u'(0)=a1=1

Passo 5

Calculemos a2,a3,a4 usando n=0,1,2:
  • Para n=0: 2cdot1,a2 = a00! ;Longrightarrow;2a2=0 ;Longrightarrow;a2=0
  • Para n=1: 3cdot2,a3 = a10!+a01! ;Longrightarrow;6a3=1+0 ;Longrightarrow;a3=tfrac16
  • Para n=2: 4cdot3,a4 = a20!+a11!+a02! ;Longrightarrow;12a4=0+1+0 ;Longrightarrow;a4=tfrac112

Passo 6

Calculemos a5,a6 usando n=3,4:
  • Para n=3: 5cdot4,a5 =a30!+a21!+a12!+a03! =tfrac16+0+tfrac12+0 =tfrac23 ;Longrightarrow; a5=2/320=tfrac130
  • Para n=4: 6cdot5,a6 =a40!+a31!+a22!+a13!+a04! =tfrac112+tfrac16+0+tfrac16+0 =tfrac512 ;Longrightarrow; a6=5/1230=tfrac172

Passo 7

Portanto, a solução em série de potências até a ordem x^6 é
u(x) =a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 + a5x^5 + a6x^6 + O(x^7) =x + x^36 + x^412 + x^530 + x^672 + O(x^7)

Resposta

u(x)=x+x^36+x^412+x^530+x^672+O(x^7)

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