Obtenha una base para o espaço de soluções da equação homogênea de Hermite L u=0 com L=D^2-2 x D+lambda, lambda constante.
Obtenha os chamados polinômios de Hermite para lambda inteiro.

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial de Hermite homogênea
L,u=0,com L = D^2 -2xD + lambda,
onde lambda é constante. O conteúdo é “séries de potências” e “funções hipergeométricas confluentes”. Vamos usar o método de série em torno de x=0 para obter duas soluções linearmente independentes, e depois ver o caso lambda=nin Z inteiro, em que uma das séries termina e produz os polinômios de Hermite.

Passo 2

Assumimos
u(x)=summ=0^inftyam,x^m Então u'(x)=summ=1^inftym,am,x^m-1, nu''(x)=summ=2^inftym(m-1),am,x^m-2 Substituindo em L,u=0, recolocando os somatórios na mesma potência x^m e anulando coeficientes, obtemos o recurrence (m+2)(m+1),am+2+( lambda -2m),am=0 Longrightarrow am+2=2m-lambda(m+2)(m+1),am Isso gera duas séries independentes, escolhendo livremente a0 e a1: – Série de índices pares m=2k com coeficientes a2k. – Série de índices ímpares m=2k+1 com coeficientes a2k+1. Logo uma base de soluções em série é y1(x)=sumk=0^infty a2k,x^2k, y2(x)=sumk=0^infty a2k+1,x^2k+1,
com a mesma fórmula de recorrência aplicada a cada ramo.

Passo 3

Reconhece-se que essas séries são expressáveis em termos de funções hipergeométricas confluentes ,1F1. Tomando a0=1, a1=0 para y1 e a0=0, a1=1 para y2, obtemos
y1(x)=1F1!l(-tfraclambda2;,tfrac12;,x^2r), y2(x)=x;1F1!l(tfrac1-lambda2;,tfrac32;,x^2r)
Portanto, para todo lambdain C,
boxedu(x)=C1,1F1!l(-tfraclambda2;,tfrac12;,x^2r) ;+;C2,x,1F1!l(tfrac1-lambda2;,tfrac32;,x^2r)

Passo 4

Quando lambda=nin N inteiro não-negativo, uma das séries termina e vira polinomial. De fato, se n é par, -tfrac n2 é inteiro negativo e a primeira série para em k=tfrac n2; se n é ímpar, tfrac1-n2 é inteiro negativo e a segunda série para. O resultado unificado define o polinômio de Hermite de grau n:
Hn(x)=(-1)^n,e^x^2,d^ndx^nl(e^-x^2r) =;n!summ=0^lfloor n/2rfloor (-1)^mm!,(n-2m)!,(2x)^,n-2m
Ele satisfaz a equação
Hn''(x)-2x,Hn'(x)+n,Hn(x)=0

Resposta

Base geral para L,u=0:
u(x)=C1,1F1!l(-tfraclambda2;,tfrac12;,x^2r) ;+;C2,x,1F1!l(tfrac1-lambda2;,tfrac32;,x^2r)
Para lambda=nin N, surge o polinômio de Hermite de grau n:
Hn(x) =(-1)^n,e^x^2d^ndx^ne^-x^2 =;n!summ=0^lfloor n/2rfloor (-1)^mm!,(n-2m)!(2x)^n-2m

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