Obtenha una base para o espaço de soluções da equação homogênea de Hermite
constante.
Obtenha os chamados polinômios de Hermite para
inteiro.
Obtenha os chamados polinômios de Hermite para
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial de Hermite homogênea
onde
é constante. O conteúdo é “séries de potências” e “funções hipergeométricas confluentes”. Vamos usar o método de série em torno de
para obter duas soluções linearmente independentes, e depois ver o caso
inteiro, em que uma das séries termina e produz os polinômios de Hermite.
Passo 2
Assumimos
com a mesma fórmula de recorrência aplicada a cada ramo.
Passo 3
Reconhece-se que essas séries são expressáveis em termos de funções hipergeométricas confluentes
. Tomando
,
para
e
,
para
, obtemos
Portanto, para todo
,
Passo 4
Quando
inteiro não-negativo, uma das séries termina e vira polinomial. De fato, se
é par,
é inteiro negativo e a primeira série para em
; se
é ímpar,
é inteiro negativo e a segunda série para. O resultado unificado define o polinômio de Hermite de grau
:
Ele satisfaz a equação
Resposta
Base geral para
:
Para
, surge o polinômio de Hermite de grau
: