Obtenha as soluções das equações como séries de potências até a sexta ordem:
u^prime prime-x^2 u+u^prime=0, u(0)=1 e u^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução de
u'' - x^2u + u' = 0,
com as condições iniciais u(0)=1 e u'(0)=0, usando série de potências até a ordem x^6. Vamos usar o método de série de potências centrada em x=0.

Passo 2

Suponha
u(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então
u'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n-1,
u''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2

Passo 3

Substituindo em u''-x^2u+u'=0 e recolhendo potências de x^k obtém-se, para k>=0,
(k+2)(k+1),ak+2 ;+;(k+1),ak+1;-;ak-2;=;0,
onde definimos a-1=a-2=0. Assim a relação de recorrência é
ak+2 ;=;,ak-2 - (k+1),ak+1,(k+2)(k+1)

Passo 4

Das condições iniciais temos
a0=u(0)=1, a1=u'(0)=0
E por definição a-1=a-2=0.

Passo 5

Usando a recorrência para k=0,1,2,3,4 calculamos até a6:
  • k=0: a2=[a-2-1cdot a1]/2=0.
  • k=1: a3=[a-1-2cdot a2]/6=0.
  • k=2: a4=[a0-3cdot a3]/12=1/12.
  • k=3: a5=[a1-4cdot a4]/20=-1/60.
  • k=4: a6=[a2-5cdot a5]/30=1/360.

Passo 6

Portanto, truncando em x^6, a solução em série fica
u(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5+a6x^6+cdots

Resposta

u(x)=1+112,x^4-160,x^5+1360,x^6+O(x^7)

Exercícios de Livros Relacionados