Obtenha as soluções das equações como séries de potências até a sexta ordem:
,
(Observe que a equação é não linear.)
Passo 1
O enunciado pede a solução da EDO não linear de primeira ordem
na forma de série de potências em torno de
, até a sexta ordem em
. Vamos supor
e determinar os coeficientes
.
Passo 2
Escrevemos as séries de
e de
:
onde
A equação
dá, ao igualar coeficientes de
,
sendo
se
e
caso contrário.
Passo 3
Usando
, calculamos coeficientes até
:
-
, . -
, . -
, .
Passo 4
Continuando para
, todos os
envolvem produtos de coeficientes já nulos, pois
e
só gera termo em
. Assim:
-
. -
. -
.
O primeiro termo não nulo de
aparece em
, mas isso determina
, fora da nossa ordem.
Resposta
Até sexta ordem em
, a série solução é