Obtenha as soluções das equações como séries de potências até a sexta ordem:
u^prime-x^2-u^2=0, u(0)=0 (Observe que a equação é não linear.)

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO não linear de primeira ordem
u'(x) - x^2 - u(x)^2 = 0, u(0)=0
na forma de série de potências em torno de x=0, até a sexta ordem em x. Vamos supor
u(x)=sumn=0^6an,x^n
e determinar os coeficientes an.

Passo 2

Escrevemos as séries de u' e de u^2:
u'(x)=sumn=1^6n,an,x^,n-1,
u(x)^2 = gl(sumn=0^6an,x^ngr)gl(summ=0^6am,x^mgr) =sumk=0^12ck,x^k,
onde
ck=sumj=0^kaj,a,k-j
A equação u'=x^2+u^2 dá, ao igualar coeficientes de x^n,
(n+1),an+1 = de<an,2 ;+; cn, n=0,1,dots,6,
sendo de<an,2=1 se n=2 e 0 caso contrário.

Passo 3

Usando u(0)=0implies a0=0, calculamos coeficientes até n=2,3:
  • n=0:;1cdot a1 = 0 + c0,;c0=a0^2=0, implies a1=0.
  • n=1:;2,a2 = 0 + c1,;c1= a0a1+a1a0=0, implies a2=0.
  • n=2:;3,a3 = 1 + c2,;c2=a0a2+a1a1+a2a0=0, implies a3=tfrac13.

Passo 4

Continuando para n=3,4,5,6, todos os cn envolvem produtos de coeficientes já nulos, pois a0=a1=a2=0 e a3 só gera termo em c6. Assim:
  • n=3:;4,a4=0+c3=0 implies a4=0.
  • n=4:;5,a5=0+c4=0 implies a5=0.
  • n=5:;6,a6=0+c5=0 implies a6=0.
O primeiro termo não nulo de u^2 aparece em c6, mas isso determina a7, fora da nossa ordem.

Resposta

Até sexta ordem em x, a série solução é
u(x)=x^33+0,x^4+0,x^5+0,x^6 =x^33+O(x^7)

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