Obtenha as soluções das equações como séries de potências até a sexta ordem:
u^prime prime-(1+y^2) u=0, u(0)=-2 e u^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por séries de potências até a sexta ordem, a equação
u'' - l(1 + y^2r),u = 0
com condições iniciais u(0)=-2 e u'(0)=2. O método envolve assumir uma série
u(y)=sumn=0^inftyan,y^n e determinar os coeficientes an por recorrência.

Passo 2

Assumimos
u(y)=sumn=0^inftyan,y^n
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u''(y)=sumn=2^inftyn(n-1),an,y^n-2
e
(1+y^2)u(y)=sumn=0^inftyan,y^n ;+;sumn=0^inftyan,y^n+2

Passo 3

Para comparar potências y^n reindexamos u'' como
u''(y)=sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,y^n
e o termo y^2u como
sumn=2^inftyan-2,y^n =sumn=0^inftyan-2,y^n (onde (a-1=a-2=0))
Da equação u''=(1+y^2)u vem, para todo n>=0,
(n+2)(n+1),an+2 ;-;an;-;an-2=0

Passo 4

Isolando an+2 obtemos a relação de recorrência
an+2 =an + an-2(n+2)(n+1),
com a-1=a-2=0. As condições iniciais dão
a0 = u(0) = -2, a1 = u'(0) = 2

Passo 5

Usando a recorrência para n=0,1,2,3,4 calculamos até a6:
a2 &= a0 + a-22cdot1 = -22 = -1, a3 &= a1 + a-13cdot2 = 26 = tfrac13, a4 &= a2 + a04cdot3 = -1 + (-2)12 = -tfrac14, a5 &= a3 + a15cdot4 = tfrac13 + 220 = 7/320 = tfrac760, a6 &= a4 + a26cdot5 = -tfrac14 + (-1)30 = -tfrac5/430 = -tfrac124

Resposta

A solução em série de potências até a sexta ordem é
u(y) = a0 + a1y + a2y^2 + a3y^3 + a4y^4 + a5y^5 + a6y^6 + cdots
ou seja
u(y) = -2 + 2y - y^2 + tfrac13y^3 - tfrac14y^4 + tfrac760y^5 - tfrac124y^6 + O(y^7)

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