(Olimpíada de Campina Grande-2000) Se x \nRightarrow 0, y \neq 0 e 2 x+\frac{y}{2} \neq 0, então \left(2 x+\frac{y}{2}\right)^{-1} \cdot\left[(2 x)^{-1}+\left(\frac{y}{2}\right)^{-1}\right] é igual:
A) 1
B) x y^{-1}
C) x^{-1} y
D) (x y)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\displaystyle\left(2x+\frac{y}{2}\right)^{-1}\cdot\Bigl[(2x)^{-1}+\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)^{-1}\Bigr]
sob as condições x\neq0, y\neq0 e 2x+\tfrac{y}{2}\neq0. O conteúdo é manipulação de potências e frações algébricas.

Passo 2

Calculamos cada inverso dentro dos colchetes:
(2x)^{-1}=\frac{1}{2x} e
\displaystyle\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr)^{-1}=\frac{2}{y}.
Assim,
(2x)^{-1}+\Bigl(\tfrac{y}{2}\Bigr)^{-1} =\frac{1}{2x}+\frac{2}{y} =\frac{y+4x}{2xy}.

Passo 3

O fator externo é
\Bigl(2x+\tfrac{y}{2}\Bigr)^{-1} =\frac{1}{2x+\tfrac{y}{2}} =\frac{2}{4x+y}.

Passo 4

Multiplicando os resultados:
\frac{2}{4x+y}\;\cdot\;\frac{y+4x}{2xy} =\frac{2\,(y+4x)}{(4x+y)\,2xy} =\frac{1}{xy} =(xy)^{-1}.

Resposta

D) (xy)^{-1}

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