(Colégio Naval-88) Simplificando a expressão \sqrt{1+\left(\frac{x^{4}-1}{2 x^{2}}\right)}-\frac{x^{2}}{2}, para x \in \mathbb{R}^{*}, obtêm-se:
(A) \frac{1}{2 x^{2}}
(B) \frac{x^{4}+x^{2}-1}{2 x^{2}}
(C) \frac{x^{4}-x^{2}-1}{2 x^{2}}
(D) \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2}
(E) \frac{x^{2}}{\sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt{1 + \frac{x^4 - 1}{2x^2}}\;-\;\frac{x^2}{2},
onde x\neq 0. O conteúdo envolvido é a simplificação de radicais e a combinação de termos racionais.

Passo 2

Primeiro, juntamos os termos dentro da raiz:
1 + \frac{x^4 - 1}{2x^2} = \frac{2x^2}{2x^2} + \frac{x^4 - 1}{2x^2} = \frac{x^4 + 2x^2 - 1}{2x^2}.
Logo,
\sqrt{1 + \frac{x^4 - 1}{2x^2}} = \sqrt{\frac{x^4 + 2x^2 - 1}{2x^2}} = \frac{\sqrt{x^4 + 2x^2 - 1}}{\sqrt{2x^2}} = \frac{\sqrt{x^4 + 2x^2 - 1}}{\sqrt{2}\,\lvert x\rvert}.

Passo 3

Subtraímos \tfrac{x^2}{2}. Para x>0 (e, por continuidade, o mesmo raciocínio vale para x<0 trocando apenas o sinal interno de \lvert x\rvert) obtemos
\sqrt{1 + \frac{x^4 - 1}{2x^2}} \;-\; \frac{x^2}{2} = \frac{\sqrt{x^4 + 2x^2 - 1}}{\sqrt{2}\,x} \;-\; \frac{x^2}{2}.
Nenhuma das quatro alternativas fornecidas coincide, ao longo de todos os x\neq 0, com essa expressão simplificada.

Passo 4

Fazendo testes numéricos (por exemplo x=2) verá que o valor da expressão é negativo, ao passo que todas as opções (A) a (E) dão resultado positivo nesse mesmo x. Concluímos que nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado da simplificação.

Resposta

Nenhuma das alternativas está correta.

Exercícios de Livros Relacionados