(Olimpiada de Maio-96) Natália e Marcela contam de 1 em 1 começando juntas desde o número I, mas a velocidade de Marcela é o triplo da velocidade de Natália (quando Natália diz o segundo númcro, Marcela diz o quarto número). Quando a diferença dos números que elas dizem em uníssono é algum dos múltiplos de 29. entre 500 e 600 , Natália segue fazendo a conta normalmente e Marcela começa a contar de maneira descendente de modo que, num momento, as duas dizem em unissono o mesmo número. Qual é o número?
Passo 1
O enunciado diz que Natália e Marcela começam juntas a contar de 1, mas Marcela fala três vezes mais rápido: sempre que Natália diz o número
, Marcela já disse o número
. Num certo instante a diferença entre os números que elas dizem simultaneamente é um múltiplo de 29 entre 500 e 600. A partir desse instante Natália continua contando para cima (
) e Marcela começa a contar para baixo (
) e, em algum momento, voltam a pronunciar o mesmo número ao mesmo tempo. Para resolver isso vamos usar modelagem de sequências aritméticas e equações lineares simples.
Passo 2
Antes da virada, nos eventos em que ambas falam simultaneamente, se Natália diz
então Marcela diz
e a diferença é
Passo 3
Queremos
igual a algum múltiplo de 29 entre 500 e 600. Os múltiplos de 29 nessa faixa são
Como
é par, só podem ser 522 ou 580:
-
. -
.
O primeiro instante ocorre em
, quando Marcela diz
e a diferença é
.
Passo 4
A partir desse instante Natália continua em
e Marcela passa a descer de
, ou seja,
no mesmo ritmo de eventos simultâneos. Seja
o número de passos após o instante em que Natália disse 262. Então Natália diz
e Marcela diz
Queremos
Passo 5
Resolvendo
Nesse momento ambas dizem
Resposta
523