(Olimpiada de Maio-96) Natália e Marcela contam de 1 em 1 começando juntas desde o número I, mas a velocidade de Marcela é o triplo da velocidade de Natália (quando Natália diz o segundo númcro, Marcela diz o quarto número). Quando a diferença dos números que elas dizem em uníssono é algum dos múltiplos de 29. entre 500 e 600 , Natália segue fazendo a conta normalmente e Marcela começa a contar de maneira descendente de modo que, num momento, as duas dizem em unissono o mesmo número. Qual é o número?

Passo 1

O enunciado diz que Natália e Marcela começam juntas a contar de 1, mas Marcela fala três vezes mais rápido: sempre que Natália diz o número k, Marcela já disse o número 3k-2. Num certo instante a diferença entre os números que elas dizem simultaneamente é um múltiplo de 29 entre 500 e 600. A partir desse instante Natália continua contando para cima ( k,k+1,k+2,\dots ) e Marcela começa a contar para baixo ( m,m-1,m-2,\dots ) e, em algum momento, voltam a pronunciar o mesmo número ao mesmo tempo. Para resolver isso vamos usar modelagem de sequências aritméticas e equações lineares simples.

Passo 2

Antes da virada, nos eventos em que ambas falam simultaneamente, se Natália diz k então Marcela diz
m = 3k - 2
e a diferença é
m - k \;=\;(3k-2)-k \;=\;2(k-1).

Passo 3

Queremos 2(k-1) igual a algum múltiplo de 29 entre 500 e 600. Os múltiplos de 29 nessa faixa são
29\cdot18 = 522,\quad 29\cdot19 = 551,\quad 29\cdot20 = 580.
Como 2(k-1) é par, só podem ser 522 ou 580:
  • 2(k-1)=522\implies k-1=261\implies k=262.
  • 2(k-1)=580\implies k-1=290\implies k=291.
O primeiro instante ocorre em k=262, quando Marcela diz
m = 3\cdot262 - 2 = 784,
e a diferença é 784-262=522.

Passo 4

A partir desse instante Natália continua em 262,263,264,\dots e Marcela passa a descer de 784, ou seja, 784,783,782,\dots no mesmo ritmo de eventos simultâneos. Seja x o número de passos após o instante em que Natália disse 262. Então Natália diz
262 + x
e Marcela diz
784 - x.
Queremos
262 + x \;=\;784 - x.

Passo 5

Resolvendo
262 + x = 784 - x \quad\Longrightarrow\quad 2x = 784 - 262 = 522 \quad\Longrightarrow\quad x = 261.
Nesse momento ambas dizem
262 + 261 = 523.

Resposta

523

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