OMA - Ache todos os números naturais , tais que

Passo 1

O enunciado pede todos os naturais x,y,z tais que
9719 ;=; 5 ;+;1,x+1,y+1z,
O conteúdo aqui é fração contínua. Vamos isolar a parte fracionária e inverter passo a passo.

Passo 2

Primeiro subtraímos 5 de ambos os lados:
9719 - 5 = 97 - 5cdot1919 = 219
Logo
1,x+1,y+1z, = 219
Invertendo, obtemos
x + 1,y+1z = 192

Passo 3

Escrevemos tfrac192 como parte inteira mais parte fracionária:
192 = 9 + 12,
logo x = 9 e
1,y+1z = 12

Passo 4

Invertendo de novo,
y + 1z = 2
Como y é natural e deve deixar tfrac1z>0, o único y<2 em N é y=1. Isso dá
1z = 2 - 1 = 1 Longrightarrow z = 1

Resposta

(x,y,z) = (9,1,1)

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