FU - A operação * é definida por a * b=a-2 b2 a b, para a e b neq 0. Se x * y=-1 e y * x=54, então y * y é igual a:
a) -1
b) 12
c) 76
d) 32
e) 2

Passo 1

O enunciado define a operação binária
a * b = a - 2b2ab,
para aneq0 e bneq0. Ele dá as duas equações
x * y = -1 e y * x = 54
e pede para calcular y*y. Vamos usar manipulação algébrica para resolver pelas duas condições e depois avaliar y*y.

Passo 2

Da condição x * y = -1 temos
x - 2y2xy = -1
Multiplicando ambos os lados por 2xy
x - 2y = -2xy Longrightarrow x + 2xy - 2y = 0 Longrightarrow x(1 + 2y) - 2y = 0
Isolando x, obtemos
x = 2y1 + 2y

Passo 3

Da condição y * x = tfrac54 temos
y - 2x2yx = 54
Multiplicando por 2yx e reorganizando,
y - 2x = 54,2yx Longrightarrow y - 2x = 52yx Longrightarrow 2y - 4x - 5xy = 0
Agora substituímos x = 2y1+2y nessa equação.

Passo 4

Substituindo x em
2y - 4x - 5xy = 0
vem
2y ;-; 42y1+2y ;-; 5y2y1+2y = 0 ;Longrightarrow; 2y - 8y + 10y^21+2y = 0
Multiplicando por 1+2y:
2y(1+2y) - (8y + 10y^2) = 0 ;Longrightarrow; 2y + 4y^2 - 8y - 10y^2 = 0 ;Longrightarrow; -6y^2 - 6y = 0 ;Longrightarrow; -6y(y+1)=0
Como yneq0, concluímos y = -1. Então
x = 2y1+2y = 2(-1)1 + 2(-1) = -2-1 = 2

Passo 5

Agora calculamos
y * y = y - 2y2ycdot y = -y2y^2 = -12y = -12(-1) = 12

Resposta

(b) 12

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