Dentro da estrutura da Mecânica Quântica (Equações (10.26) e seguintes), mostre que os seguintes operadores são hermitianos:
(a) momento \mathbf{p}=-i \hbar \boldsymbol{\nabla} \equiv-i \frac{h}{2 \pi} \boldsymbol{\nabla}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador momento
\mathbf{p} = -\,i\hbar\nabla
é hermitiano, ou seja, satisfaz
\langle \varphi \mid \mathbf{p}\,\psi \rangle \;=\;\langle \mathbf{p}\,\varphi \mid \psi \rangle
para funções de onda adequadas que vão a zero no infinito. Vamos usar integração por partes em três dimensões e assumir que o termo de fronteira se anula.

Passo 2

Começamos lembrando a definição do produto interno em espaço de funções de onda
\langle \varphi \mid \psi \rangle \;=\;\int_{\mathbb{R}^3} \varphi^*(\mathbf{r})\,\psi(\mathbf{r})\,\mathrm{d}^3r
e a condição de hermiticidade para um operador \hat A:
\langle \varphi \mid \hat A\,\psi \rangle = \langle \hat A\,\varphi \mid \psi \rangle.

Passo 3

Calculemos o lado esquerdo para \hat A=\mathbf{p}:
\langle \varphi \mid \mathbf{p}\,\psi \rangle = \int \varphi^*(\mathbf{r}) \bigl(-\,i\hbar\nabla\psi(\mathbf{r})\bigr)\,\mathrm{d}^3r = -\,i\hbar \int \varphi^*\,\nabla\psi\,\mathrm{d}^3r.

Passo 4

Aplicamos a identidade vetorial
\varphi^*\,\nabla\psi = \nabla\!\bigl(\varphi^*\psi\bigr)\;-\;(\nabla\varphi^*)\,\psi
e integramos sobre todo o espaço:
-\,i\hbar\int \varphi^*\,\nabla\psi\,\mathrm{d}^3r = -\,i\hbar\int \nabla(\varphi^*\psi)\,\mathrm{d}^3r \;+\;i\hbar\int (\nabla\varphi^*)\,\psi\,\mathrm{d}^3r.
Pelo teorema da divergência,
\int \nabla(\varphi^*\psi)\,\mathrm{d}^3r = \oint_{S_\infty}\varphi^*(\mathbf{r})\,\psi(\mathbf{r})\,\mathrm{d}\mathbf{S} =0
porque \varphi e \psi tendem a zero no infinito. Logo
\langle \varphi \mid \mathbf{p}\,\psi \rangle = i\hbar \int (\nabla\varphi^*)\,\psi\,\mathrm{d}^3r.

Passo 5

Observe que
i\hbar\,\nabla\varphi^* = \bigl(-\,i\hbar\,\nabla\varphi\bigr)^*,
isto é,
\langle \varphi \mid \mathbf{p}\,\psi \rangle = \int \bigl(-\,i\hbar\nabla\varphi\bigr)^*\,\psi\,\mathrm{d}^3r = \langle \mathbf{p}\,\varphi \mid \psi \rangle.
Portanto \mathbf{p} é hermitiano.

Resposta

O operador momento \mathbf{p}=-\,i\hbar\nabla é hermitiano.

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