Dentro da estrutura da Mecânica Quântica (Equações (10.26) e seguintes), mostre que os seguintes operadores são hermitianos:
(a) momento
(a) momento
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador momento
é hermitiano, ou seja, satisfaz
para funções de onda adequadas que vão a zero no infinito. Vamos usar integração por partes em três dimensões e assumir que o termo de fronteira se anula.
Passo 2
Começamos lembrando a definição do produto interno em espaço de funções de onda
e a condição de hermiticidade para um operador
:
Passo 3
Calculemos o lado esquerdo para
:
Passo 4
Aplicamos a identidade vetorial
e integramos sobre todo o espaço:
Pelo teorema da divergência,
porque
e
tendem a zero no infinito. Logo
Passo 5
Observe que
isto é,
Portanto
é hermitiano.
Resposta
O operador momento
é hermitiano.