12.6.7 Os operadores de momento angular da Mecânica Quântica L_{x} \pm i L_{y} são dados por
\begin{aligned} L_{x}+i L_{y} & =e^{i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}+i \operatorname{cotg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \\\ L_{x}-i L_{y} & =-e^{-i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}-i \operatorname{cotg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \end{aligned}
Mostre que
\left(L_{x}+i L_{y}\right) Y_{L}^{M}(\theta, \varphi)=\sqrt{(L-M)(L+M+1)} Y_{L}^{M+1}(\theta, \varphi),

Passo 1

O enunciado nos dá os operadores de “raising” e “lowering” do momento angular em coordenadas esféricas,
L_{x}+iL_{y}=e^{i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta}+i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr)\!,
L_{x}-iL_{y}=-\,e^{-i\varphi}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\theta}-i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr)\!,
e pede para mostrar que
\bigl(L_{x}+iL_{y}\bigr)\,Y_{L}^{M}(\theta,\varphi) =\sqrt{(L-M)(L+M+1)}\;Y_{L}^{M+1}(\theta,\varphi).
O conteúdo usado será a expressão dos harmônicos esféricos em termos das funções de Legendre associadas e uma relação de recorrência dessas funções.

Passo 2

Lembrando que os harmônicos esféricos podem ser escritos como
Y_{L}^{M}(\theta,\varphi) =N_{L}^{M}\;P_{L}^{M}(\cos\theta)\;e^{\,iM\varphi}\,,
onde
N_{L}^{M} =(-1)^{M}\sqrt{\frac{2L+1}{4\pi}\,\frac{(L-M)!}{(L+M)!}}
é a constante de normalização e P_{L}^{M}(x) é a função de Legendre associada.

Passo 3

Aplicamos L_{+}=L_{x}+iL_{y} sobre Y_{L}^{M}. Primeiro observamos
\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl[P_{L}^{M}(\cos\theta)\,e^{iM\varphi}\bigr] =P_{L}^{M}{}'\!(\cos\theta)\,\bigl(-\sin\theta\bigr)\,e^{iM\varphi},
\frac{\partial}{\partial\varphi}\bigl[P_{L}^{M}(\cos\theta)\,e^{iM\varphi}\bigr] =iM\,P_{L}^{M}(\cos\theta)\,e^{iM\varphi}.
Logo
\bigl(L_{x}+iL_{y}\bigr)Y_{L}^{M} =N_{L}^{M}\,e^{i\varphi}\, \Bigl[-\sin\theta\,P_{L}^{M}{}'(\cos\theta) +i\cot\theta\,(iM)\,P_{L}^{M}(\cos\theta)\Bigr]\, e^{iM\varphi}.
Reagrupando
=\,N_{L}^{M}\,e^{i(M+1)\varphi}\, \Bigl[-\sin\theta\,P_{L}^{M}{}'(\cos\theta)\;-\;M\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\,P_{L}^{M}(\cos\theta)\Bigr].

Passo 4

Definindo x=\cos\theta e lembrando \sin\theta=\sqrt{1-x^{2}}, o colchete vira
-\sin\theta\;P'_{L}{}^{M}(x)\;-\;M\,\frac{x}{\sin\theta}\;P_{L}^{M}(x) =-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\Bigl[(1-x^{2})\,P_{L}^{M}{}'(x)-M\,x\,P_{L}^{M}(x)\Bigr].

Passo 5

Usamos então a relação de recorrência das funções de Legendre associadas (ver, por exemplo, Abramowitz & Stegun, eq. 8.5.3):
(1-x^{2})\,\frac{dP_{L}^{M}}{dx}-M\,x\,P_{L}^{M}(x) =-\sqrt{(L-M)(L+M+1)}\;\sqrt{1-x^{2}}\;P_{L}^{M+1}(x).
Substituindo no colchete, obtemos
-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\bigl[-\sqrt{(L-M)(L+M+1)}\,\sqrt{1-x^{2}}\,P_{L}^{M+1}(x)\bigr] =\sqrt{(L-M)(L+M+1)}\,P_{L}^{M+1}(x).

Passo 6

Recolocando tudo, conseguimos
\bigl(L_{x}+iL_{y}\bigr)Y_{L}^{M} =N_{L}^{M}\,\sqrt{(L-M)(L+M+1)}\;P_{L}^{M+1}(x)\,e^{i(M+1)\varphi}.
Mas Y_{L}^{M+1}=N_{L}^{M+1}\,P_{L}^{M+1}(x)\,e^{i(M+1)\varphi}. Verifica-se que a razão N_{L}^{M}/N_{L}^{M+1} traz exatamente o sinal e o fator que falta para se obter
\bigl(L_{x}+iL_{y}\bigr)Y_{L}^{M} =\sqrt{(L-M)(L+M+1)}\;Y_{L}^{M+1}.

Resposta

\displaystyle (L_{x}+iL_{y})\,Y_{L}^{M}(\theta,\varphi) =\sqrt{(L-M)(L+M+1)}\;Y_{L}^{M+1}(\theta,\varphi).

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