12.6.7 Os operadores de momento angular da Mecânica Quântica
são dados por
Mostre que
,
Passo 1
O enunciado nos dá os operadores de “raising” e “lowering” do momento angular em coordenadas esféricas,
e pede para mostrar que
O conteúdo usado será a expressão dos harmônicos esféricos em termos das funções de Legendre associadas e uma relação de recorrência dessas funções.
Passo 2
Lembrando que os harmônicos esféricos podem ser escritos como
onde
é a constante de normalização e
é a função de Legendre associada.
Passo 3
Aplicamos
sobre
. Primeiro observamos
Logo
Reagrupando
Passo 4
Definindo
e lembrando
, o colchete vira
Passo 5
Usamos então a relação de recorrência das funções de Legendre associadas (ver, por exemplo, Abramowitz & Stegun, eq. 8.5.3):
Substituindo no colchete, obtemos
Passo 6
Recolocando tudo, conseguimos
Mas
. Verifica-se que a razão
traz exatamente o sinal e o fator que falta para se obter