12.6.7 Os operadores de momento angular da Mecânica Quântica Lx pm i Ly são dados por
Lx+i Ly & =e^i varphi(partialpartial theta+i cotg theta partialpartial varphi) Lx-i Ly & =-e^-i varphi(partialpartial theta-i cotg theta partialpartial varphi)
Mostre que
(Lx+i Ly) YL^M(theta, varphi)=raiz(L-M)(L+M+1) YL^M+1(theta, varphi),

Passo 1

O enunciado nos dá os operadores de “raising” e “lowering” do momento angular em coordenadas esféricas,
Lx+iLy=e^ivarphil(partialpartialtheta+icotthetapartialpartialvarphir)!,
Lx-iLy=-,e^-ivarphil(partialpartialtheta-icotthetapartialpartialvarphir)!,
e pede para mostrar que
l(Lx+iLyr),YL^M(theta,varphi) =raiz(L-M)(L+M+1);YL^M+1(theta,varphi)
O conteúdo usado será a expressão dos harmônicos esféricos em termos das funções de Legendre associadas e uma relação de recorrência dessas funções.

Passo 2

Lembrando que os harmônicos esféricos podem ser escritos como
YL^M(theta,varphi) =NL^M;PL^M(costheta);e^,iMvarphi,,
onde
NL^M =(-1)^Mraiz2L+14pi,(L-M)!(L+M)!
é a constante de normalização e PL^M(x) é a função de Legendre associada.

Passo 3

Aplicamos L+=Lx+iLy sobre YL^M. Primeiro observamos
partialpartialthetal[PL^M(costheta),e^iMvarphir] =PL^M'!(costheta),l(-sinthetar),e^iMvarphi,
partialpartialvarphil[PL^M(costheta),e^iMvarphir] =iM,PL^M(costheta),e^iMvarphi
Logo
l(Lx+iLyr)YL^M =NL^M,e^ivarphi, l[-sintheta,PL^M'(costheta) +icottheta,(iM),PL^M(costheta)r], e^iMvarphi
Reagrupando
=,NL^M,e^i(M+1)varphi, l[-sintheta,PL^M'(costheta);-;M,costhetasintheta,PL^M(costheta)r]

Passo 4

Definindo x=costheta e lembrando sintheta=raiz1-x^2, o colchete vira
-sintheta;P'L^M(x);-;M,xsintheta;PL^M(x) =-1raiz1-x^2l[(1-x^2),PL^M'(x)-M,x,PL^M(x)r]

Passo 5

Usamos então a relação de recorrência das funções de Legendre associadas (ver, por exemplo, Abramowitz & Stegun, eq. 8.5.3):
(1-x^2),dPL^Mdx-M,x,PL^M(x) =-raiz(L-M)(L+M+1);raiz1-x^2;PL^M+1(x)
Substituindo no colchete, obtemos
-1raiz1-x^2l[-raiz(L-M)(L+M+1),raiz1-x^2,PL^M+1(x)r] =raiz(L-M)(L+M+1),PL^M+1(x)

Passo 6

Recolocando tudo, conseguimos
l(Lx+iLyr)YL^M =NL^M,raiz(L-M)(L+M+1);PL^M+1(x),e^i(M+1)varphi
Mas YL^M+1=NL^M+1,PL^M+1(x),e^i(M+1)varphi. Verifica-se que a razão NL^M/NL^M+1 traz exatamente o sinal e o fator que falta para se obter
l(Lx+iLyr)YL^M =raiz(L-M)(L+M+1);YL^M+1

Resposta

(Lx+iLy),YL^M(theta,varphi) =raiz(L-M)(L+M+1);YL^M+1(theta,varphi)

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