12.6.8 Com L pmdado por
L pm=Lx pm i Ly= pm e^ pm i varphi[partialpartial theta pm i cotg theta partialpartial varphi]
mostre que
Yl^m=raiz(l-m)!(2 l)!(l+m)!(L+)^l+m Yl^-l.

Passo 1

O enunciado trata dos harmônicos esféricos Yl^m(theta,varphi) e do operador alça para cima (raising)
L+ = Lx + i Ly = e^i varphi l( partialpartial theta + i cot theta , partialpartial varphi r)
Queremos mostrar que, a partir do estado mais baixo Yl^-l, aplicando (L+)^l+m obtemos Yl^m até um fator de normalização, que se reduz à constante
raiz(l-m)!(2l)! , (l+m)!

Passo 2

Usamos a relação de subida de auto-funções de momento angular (com unidades hbar=1):
L+ , Yl^p = raizl(l+1)-p(p+1) , Yl^p+1
Logo, aplicando L+ sucessivamente sobre Yl^-l subimos o índice de -l até m.

Passo 3

Após N=l+m aplicações temos
(L+)^l+mYl^-l =l[prodp=-l^m-1raizl(l+1)-p(p+1)r];Yl^m
Chamemos de
C=prodp=-l^m-1raizl(l+1)-p(p+1),
então
Yl^m=1C,(L+)^l+mYl^-l

Passo 4

Dentro do produto note que
l(l+1)-p(p+1)=(l-p)(l+p+1)
Se definirmos t=p+l, p=-l,dots,m-1 vira t=0,dots,l+m-1, e então
prodp=-l^m-1(l-p)=prodt=0^l+m-1(2l-t) =(2l)!(l-m)!,
prodp=-l^m-1(l+p+1)=prodt=0^l+m-1(t+1) =(l+m)!
Portanto o produto sob a raiz é
C^2 =(l+m)!,(2l)!(l-m)! =(2l)!,(l+m)!(l-m)!,
e assim
C=raiz(2l)!,(l+m)!(l-m)!

Passo 5

Substituindo C em Yl^m=1C(L+)^l+mYl^-l obtemos exatamente
Yl^m =raiz(l-m)!(2l)!,(l+m)!;l(L+r)^,l+mYl^-l,
como pedido.

Resposta

Yl^m =raiz(l-m)!(2l)!,(l+m)!;l(L+r)^l+m,Yl^-l

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