12.6.8
dado por
mostre que
.
Passo 1
O enunciado trata dos harmônicos esféricos
e do operador alça para cima (raising)
Queremos mostrar que, a partir do estado mais baixo
, aplicando
obtemos
até um fator de normalização, que se reduz à constante
Passo 2
Usamos a relação de subida de auto-funções de momento angular (com unidades
):
Logo, aplicando
sucessivamente sobre
subimos o índice de
até
.
Passo 3
Após
aplicações temos
Chamemos de
então
Passo 4
Dentro do produto note que
Se definirmos
,
vira
, e então
Portanto o produto sob a raiz é
e assim
Passo 5
Substituindo
em
obtemos exatamente
como pedido.