12.6.8 \operatorname{Com} L_{ \pm}dado por
L_{ \pm}=L_{x} \pm i L_{y}= \pm e^{ \pm i \varphi}\left[\frac{\partial}{\partial \theta} \pm i \operatorname{cotg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right]
mostre que
Y_{l}^{m}=\sqrt{\frac{(l-m)!}{(2 l)!(l+m)!}}\left(L_{+}\right)^{l+m} Y_{l}^{-l}.

Passo 1

O enunciado trata dos harmônicos esféricos Y_{l}^{m}(\theta,\varphi) e do operador alça para cima (raising)
L_{+} = L_{x} + i L_{y} = e^{i \varphi} \Bigl( \frac{\partial}{\partial \theta} + i \cot \theta \, \frac{\partial}{\partial \varphi} \Bigr).
Queremos mostrar que, a partir do estado mais baixo Y_{l}^{-l}, aplicando (L_{+})^{l+m} obtemos Y_{l}^{m} até um fator de normalização, que se reduz à constante
\sqrt{\frac{(l-m)!}{(2l)! \, (l+m)!}}.

Passo 2

Usamos a relação de subida de auto-funções de momento angular (com unidades \hbar=1):
L_{+} \, Y_{l}^{p} = \sqrt{l(l+1)-p(p+1)} \, Y_{l}^{p+1}.
Logo, aplicando L_{+} sucessivamente sobre Y_{l}^{-l} subimos o índice de -l até m.

Passo 3

Após N=l+m aplicações temos
(L_{+})^{l+m}Y_{l}^{-l} =\Bigl[\prod_{p=-l}^{m-1}\sqrt{l(l+1)-p(p+1)}\Bigr]\;Y_{l}^{m}.
Chamemos de
C=\prod_{p=-l}^{m-1}\sqrt{l(l+1)-p(p+1)},
então
Y_{l}^{m}=\frac{1}{C}\,(L_{+})^{l+m}Y_{l}^{-l}.

Passo 4

Dentro do produto note que
l(l+1)-p(p+1)=(l-p)(l+p+1).
Se definirmos t=p+l, p=-l,\dots,m-1 vira t=0,\dots,l+m-1, e então
\prod_{p=-l}^{m-1}(l-p)=\prod_{t=0}^{l+m-1}(2l-t) =\frac{(2l)!}{(l-m)!},
\prod_{p=-l}^{m-1}(l+p+1)=\prod_{t=0}^{l+m-1}(t+1) =(l+m)!.
Portanto o produto sob a raiz é
C^{2} =(l+m)!\,\frac{(2l)!}{(l-m)!} =\frac{(2l)!\,(l+m)!}{(l-m)!},
e assim
C=\sqrt{\frac{(2l)!\,(l+m)!}{(l-m)!}}.

Passo 5

Substituindo C em Y_{l}^{m}=\frac{1}{C}(L_{+})^{l+m}Y_{l}^{-l} obtemos exatamente
Y_{l}^{m} =\sqrt{\frac{(l-m)!}{(2l)!\,(l+m)!}}\;\bigl(L_{+}\bigr)^{\,l+m}Y_{l}^{-l},
como pedido.

Resposta

Y_{l}^{m} =\sqrt{\frac{(l-m)!}{(2l)!\,(l+m)!}}\;\bigl(L_{+}\bigr)^{l+m}\,Y_{l}^{-l}.

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