12.6.2 Prove que
Passo 1
O enunciado pede para avaliar o harmônico esférico
no polo norte, ou seja em
. O que vamos usar é a definição canônica
onde
é a constante de normalização e
é a função de Legendre associada de ordem
e grau
.
Passo 2
Primeiro, substituímos
, de modo que
. Assim
Passo 3
Agora precisamos da propriedade de
em
. Pela fórmula de Rodrigues para a função de Legendre associada,
então, ao tomar
, o fator
se anula para todo
. Já para
temos
. Portanto
Passo 4
Também note que quando
o fator
zera todo
. Para
temos
e