12.6.2 Prove que
YL^M(0, varphi)=(2 L+14 pi)^1 / 2 de<aM, 0

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o harmônico esférico
YL^M(theta,varphi)
no polo norte, ou seja em theta=0. O que vamos usar é a definição canônica
YL^M(theta,varphi) = NL M,PL^M(costheta),e^iMvarphi,
onde
NL M=raiz2L+14pi,(L - M)!(L + M)!
é a constante de normalização e PL^M(x) é a função de Legendre associada de ordem M e grau L.

Passo 2

Primeiro, substituímos theta=0, de modo que costheta=1. Assim
YL^M(0,varphi) = NL M,PL^M(1),e^iMvarphi

Passo 3

Agora precisamos da propriedade de PL^M(x) em x=1. Pela fórmula de Rodrigues para a função de Legendre associada,
PL^M(x) =(1 - x^2)^M/2,d^Mdx^MPL(x),
então, ao tomar x=1, o fator (1-x^2)^M/2 se anula para todo M>0. Já para M=0 temos PL^0(1)=PL(1)=1. Portanto
PL^M(1)=de<aM,0

Passo 4

Também note que quando Mneq0 o fator PL^M(1)=0 zera todo YL^M(0,varphi). Para M=0 temos e^iMvarphi=1 e
NL0 =raiz2L+14pi,(L-0)!(L+0)! =raiz2L+14pi

Resposta

YL^M(0,varphi) =raiz2L+14pi;de<aM,0

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