12.6.2 Prove que
Y_{L}^{M}(0, \varphi)=\left(\frac{2 L+1}{4 \pi}\right)^{1 / 2} \delta_{M, 0}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o harmônico esférico
Y_{L}^{M}(\theta,\varphi)
no polo norte, ou seja em \theta=0. O que vamos usar é a definição canônica
Y_{L}^{M}(\theta,\varphi) = N_{L M}\,P_{L}^{M}(\cos\theta)\,e^{iM\varphi},
onde
N_{L M}=\sqrt{\frac{2L+1}{4\pi}\,\frac{(L - M)!}{(L + M)!}}
é a constante de normalização e P_{L}^{M}(x) é a função de Legendre associada de ordem M e grau L.

Passo 2

Primeiro, substituímos \theta=0, de modo que \cos\theta=1. Assim
Y_{L}^{M}(0,\varphi) = N_{L M}\,P_{L}^{M}(1)\,e^{iM\varphi}.

Passo 3

Agora precisamos da propriedade de P_{L}^{M}(x) em x=1. Pela fórmula de Rodrigues para a função de Legendre associada,
P_{L}^{M}(x) =(1 - x^{2})^{M/2}\,\frac{d^{M}}{dx^{M}}P_{L}(x),
então, ao tomar x=1, o fator (1-x^{2})^{M/2} se anula para todo M>0. Já para M=0 temos P_{L}^{0}(1)=P_{L}(1)=1. Portanto
P_{L}^{M}(1)=\delta_{M,0}.

Passo 4

Também note que quando M\neq0 o fator P_{L}^{M}(1)=0 zera todo Y_{L}^{M}(0,\varphi). Para M=0 temos e^{iM\varphi}=1 e
N_{L0} =\sqrt{\frac{2L+1}{4\pi}\,\frac{(L-0)!}{(L+0)!}} =\sqrt{\frac{2L+1}{4\pi}}.

Resposta

Y_{L}^{M}(0,\varphi) =\sqrt{\frac{2L+1}{4\pi}}\;\delta_{M,0}.

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