12.6.7 Os operadores de momento angular da Mecânica Quântica L_{x} \pm i L_{y} são dados por
\begin{aligned} L_{x}+i L_{y} & =e^{i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}+i \operatorname{cotg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \\\ L_{x}-i L_{y} & =-e^{-i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}-i \operatorname{cotg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \end{aligned}
Mostre que
\left(L_{x}-i L_{y}\right) Y_{L}^{M}(\theta, \varphi)=\sqrt{(L+M)(L-M+1)} Y_{L}^{M-1}(\theta, \varphi).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador de “degrau para baixo”
L_{-}=L_{x}-iL_{y}
age sobre o harmônico esférico \;Y_{L}^{M}(\theta,\varphi) produzindo
L_{-}\,Y_{L}^{M}(\theta,\varphi) =\sqrt{(L+M)(L-M+1)}\;Y_{L}^{M-1}(\theta,\varphi).
O conteúdo principal é álgebra de operadores angulares: usaremos
1. as relações de comutação
\bigl[L^{2},L_{-}\bigr]=0,
\bigl[L_{z},L_{-}\bigr]=-\,L_{-},
2. a ortonormalidade de Y_{L}^{M} e
3. a identidade
\,L_{+}L_{-}=L^{2}-L_{z}^{2}+L_{z}.

Passo 2

Como \bigl[L^{2},L_{-}\bigr]=0 e \bigl[L_{z},L_{-}\bigr]=-L_{-}, ao aplicarmos L_{-} em Y_{L}^{M} obtemos uma função que ainda é auto-função de L^{2} com mesmo autovalor L(L+1) e auto-função de L_{z} com autovalor M-1. Logo
L_{-}\,Y_{L}^{M} =C\,Y_{L}^{M-1}
para alguma constante C a determinar.

Passo 3

Para achar C, calculamos o quadrado da norma de L_{-}Y_{L}^{M}:
\big\|L_{-}Y_{L}^{M}\big\|^{2} =\bigl\langle Y_{L}^{M}\bigm|L_{+}L_{-}\bigm|Y_{L}^{M}\bigr\rangle.
Mas sabe-se que
L_{+}L_{-} = L^{2}-L_{z}^{2}+L_{z}.
Então
\big\|L_{-}Y_{L}^{M}\big\|^{2} =\bigl\langle Y_{L}^{M}\bigr| \bigl(L^{2}-L_{z}^{2}+L_{z}\bigr) \bigl|Y_{L}^{M}\bigr\rangle = L(L+1)-M^{2}+M.
Como L(L+1)-M^{2}+M = (L+M)(L-M+1), temos
\big\|L_{-}Y_{L}^{M}\big\|^{2} = (L+M)(L-M+1).

Passo 4

Por outro lado, da suposição L_{-}Y_{L}^{M}=C\,Y_{L}^{M-1} segue
\big\|L_{-}Y_{L}^{M}\big\|^{2} =|C|^{2}\,\big\|Y_{L}^{M-1}\big\|^{2} =|C|^{2},
pois Y_{L}^{M-1} está normalizado. Comparando com o resultado anterior, obtemos
|C|^{2}=(L+M)(L-M+1) \quad\Longrightarrow\quad C=\sqrt{(L+M)(L-M+1)},
escolhendo a fase real positiva.

Resposta

\bigl(L_{x}-iL_{y}\bigr)\,Y_{L}^{M}(\theta,\varphi) =\sqrt{(L+M)(L-M+1)}\;Y_{L}^{M-1}(\theta,\varphi).

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