12.6.7 Os operadores de momento angular da Mecânica Quântica Lx pm i Ly são dados por
Lx+i Ly & =e^i varphi(partialpartial theta+i cotg theta partialpartial varphi) Lx-i Ly & =-e^-i varphi(partialpartial theta-i cotg theta partialpartial varphi)
Mostre que
(Lx-i Ly) YL^M(theta, varphi)=raiz(L+M)(L-M+1) YL^M-1(theta, varphi).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador de “degrau para baixo”
L-=Lx-iLy
age sobre o harmônico esférico ;YL^M(theta,varphi) produzindo
L-,YL^M(theta,varphi) =raiz(L+M)(L-M+1);YL^M-1(theta,varphi)
O conteúdo principal é álgebra de operadores angulares: usaremos
1. as relações de comutação
l[L^2,L-r]=0,
l[Lz,L-r]=-,L-,
2. a ortonormalidade de YL^M e
3. a identidade
,L+L-=L^2-Lz^2+Lz.

Passo 2

Como l[L^2,L-r]=0 e l[Lz,L-r]=-L-, ao aplicarmos L- em YL^M obtemos uma função que ainda é auto-função de L^2 com mesmo autovalor L(L+1) e auto-função de Lz com autovalor M-1. Logo
L-,YL^M =C,YL^M-1
para alguma constante C a determinar.

Passo 3

Para achar C, calculamos o quadrado da norma de L-YL^M:
|L-YL^M|^2 =llang<= YL^Mm|L+L-m|YL^Mrrang<=
Mas sabe-se que
L+L- = L^2-Lz^2+Lz
Então
|L-YL^M|^2 =llang<= YL^Mr| l(L^2-Lz^2+Lzr) l|YL^Mrrang<= = L(L+1)-M^2+M
Como L(L+1)-M^2+M = (L+M)(L-M+1), temos
|L-YL^M|^2 = (L+M)(L-M+1)

Passo 4

Por outro lado, da suposição L-YL^M=C,YL^M-1 segue
|L-YL^M|^2 =|C|^2,|YL^M-1|^2 =|C|^2,
pois YL^M-1 está normalizado. Comparando com o resultado anterior, obtemos
|C|^2=(L+M)(L-M+1) Longrightarrow C=raiz(L+M)(L-M+1),
escolhendo a fase real positiva.

Resposta

l(Lx-iLyr),YL^M(theta,varphi) =raiz(L+M)(L-M+1);YL^M-1(theta,varphi)

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