12.6.7 Os operadores de momento angular da Mecânica Quântica
são dados por
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o operador de “degrau para baixo”
age sobre o harmônico esférico
produzindo
O conteúdo principal é álgebra de operadores angulares: usaremos
. as relações de comutação
,
,
. a ortonormalidade de
e
. a identidade
.
Passo 2
Como
e
, ao aplicarmos
em
obtemos uma função que ainda é auto-função de
com mesmo autovalor
e auto-função de
com autovalor
. Logo
para alguma constante
a determinar.
Passo 3
Para achar
, calculamos o quadrado da norma de
:
Mas sabe-se que
Então
Como
L(L+1)-M^2+M = (L+M)(L-M+1) , temos
Passo 4
Por outro lado, da suposição
L-YL^M=C,YL^M-1 segue
pois
YL^M-1 está normalizado. Comparando com o resultado anterior, obtemos
escolhendo a fase real positiva.