O conteúdo principal é álgebra de operadores angulares: usaremos 1. as relações de comutação \bigl[L^{2},L_{-}\bigr]=0, \bigl[L_{z},L_{-}\bigr]=-\,L_{-}, 2. a ortonormalidade de Y_{L}^{M} e 3. a identidade \,L_{+}L_{-}=L^{2}-L_{z}^{2}+L_{z}.
Passo 2
Como \bigl[L^{2},L_{-}\bigr]=0 e \bigl[L_{z},L_{-}\bigr]=-L_{-}, ao aplicarmos L_{-} em Y_{L}^{M} obtemos uma função que ainda é auto-função de L^{2} com mesmo autovalor L(L+1) e auto-função de L_{z} com autovalor M-1. Logo
L_{-}\,Y_{L}^{M} =C\,Y_{L}^{M-1}
para alguma constante C a determinar.
Passo 3
Para achar C, calculamos o quadrado da norma de L_{-}Y_{L}^{M}: