12.6.5 As funções azimutais ortogonais dão uma representação útil da função delta de Dirac. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede mostrar a representação da delta de Dirac em coordenada azimutal, ou seja, provar que
O conteúdo que vamos usar é a ortonormalidade e a completude das funções
em
.
Passo 2
Definimos a base ortonormal
para todo
. Verificamos a ortonormalidade em
:
Passo 3
Pela completude de uma base ortonormal em espaço de funções periódicas de período
, vale
onde
é o delta de Dirac periódico em
.
Passo 4
Substituindo
na relação de completude obtemos
Como
, isso se simplifica para
Passo 5
Basta agora identificar
e
. Assim chegamos exatamente à representação pedida.