12.6.5 As funções azimutais ortogonais dão uma representação útil da função delta de Dirac. Mostre que
de<a(varphi1-varphi2)=12 pi summ=-infty^infty exp [i m(varphi1-varphi2)]

Passo 1

O enunciado pede mostrar a representação da delta de Dirac em coordenada azimutal, ou seja, provar que
de<a(varphi1-varphi2) =12pisumm=-infty^inftyexpl[i m(varphi1-varphi2)r]
O conteúdo que vamos usar é a ortonormalidade e a completude das funções
exp(i mvarphi) em [0,2pi].

Passo 2

Definimos a base ortonormal
um(varphi)=1raiz2piexp(i mvarphi),
para todo minZ. Verificamos a ortonormalidade em [0,2pi]:
integral0^2pium^*(varphi),un(varphi),dvarphi =12piintegral0^2pie^-i mvarphi,e^i nvarphi,dvarphi =de<amn

Passo 3

Pela completude de uma base ortonormal em espaço de funções periódicas de período 2pi, vale
summ=-infty^inftyum(varphi),um^*(varphi') =de<a(varphi-varphi'),
onde de<a(varphi-varphi') é o delta de Dirac periódico em 2pi.

Passo 4

Substituindo um(varphi)=tfrac1raiz2pie^i mvarphi na relação de completude obtemos
summ=-infty^infty12pi,e^i mvarphi,e^-i mvarphi' =de<a(varphi-varphi')
Como e^i mvarphi,e^-i mvarphi'=e^i m(varphi-varphi'), isso se simplifica para
12pisumm=-infty^inftye^i m(varphi-varphi') =de<a(varphi-varphi')

Passo 5

Basta agora identificar varphi=varphi1 e varphi'=varphi2. Assim chegamos exatamente à representação pedida.

Resposta

de<a(varphi1-varphi2) =12pi summ=-infty^infty expl[i m(varphi1-varphi2)r]

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