12.6.5 As funções azimutais ortogonais dão uma representação útil da função delta de Dirac. Mostre que
\delta\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{m=-\infty}^{\infty} \exp \left[i m\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede mostrar a representação da delta de Dirac em coordenada azimutal, ou seja, provar que
\delta(\varphi_{1}-\varphi_{2}) =\frac{1}{2\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\exp\bigl[i m(\varphi_{1}-\varphi_{2})\bigr].
O conteúdo que vamos usar é a ortonormalidade e a completude das funções
\{\exp(i m\varphi)\} em [0,2\pi].

Passo 2

Definimos a base ortonormal
u_{m}(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(i m\varphi),
para todo m\in\mathbb{Z}. Verificamos a ortonormalidade em [0,2\pi]:
\int_{0}^{2\pi}u_{m}^*(\varphi)\,u_{n}(\varphi)\,d\varphi =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{-i m\varphi}\,e^{i n\varphi}\,d\varphi =\delta_{mn}.

Passo 3

Pela completude de uma base ortonormal em espaço de funções periódicas de período 2\pi, vale
\sum_{m=-\infty}^{\infty}u_{m}(\varphi)\,u_{m}^*(\varphi') =\delta(\varphi-\varphi'),
onde \delta(\varphi-\varphi') é o delta de Dirac periódico em 2\pi.

Passo 4

Substituindo u_{m}(\varphi)=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i m\varphi} na relação de completude obtemos
\sum_{m=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}\,e^{i m\varphi}\,e^{-i m\varphi'} =\delta(\varphi-\varphi').
Como e^{i m\varphi}\,e^{-i m\varphi'}=e^{i m(\varphi-\varphi')}, isso se simplifica para
\frac{1}{2\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{i m(\varphi-\varphi')} =\delta(\varphi-\varphi').

Passo 5

Basta agora identificar \varphi=\varphi_{1} e \varphi'=\varphi_{2}. Assim chegamos exatamente à representação pedida.

Resposta

\delta(\varphi_{1}-\varphi_{2}) =\frac{1}{2\pi} \sum_{m=-\infty}^{\infty} \exp\bigl[i m(\varphi_{1}-\varphi_{2})\bigr].

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