Se a ordem de grandeza da funçāo positiva
fôr superior, igual ou inferior ò de
quando
provar que
tem ordem de grandeza correspondente a ordem de grandrza de
.
Passo 1
O enunciado diz que
e que, quando
, a ordem de grandeza de
em relação a
pode ser:
- inferior:
, - igual:
com , - superior:
.
Queremos mostrar que
tem ordem de grandeza em relação a
correspondente a cada caso acima. Para isso usaremos definições de comparação de funções e o fato de
Passo 2
Caso
.
Por definição existe e
tais que para todo
vale
Por definição existe
Então para
onde
é constante. Calculando a integral de
:
segue que
Passo 3
Caso
.
Isso significa que . Logo dado
existe
tal que, para
,
Isso significa que
Analogamente ao passo anterior, para
onde
. Dividindo por
e fazendo
obtemos
Como
é arbitrário,
, ou seja
Passo 4
Caso
com
.
Escrevemos
Escrevemos
Então
O primeiro termo é
, e pelo Passo 3
. Portanto
ou seja
.
Passo 5
Caso
.
Isso significa que . Dado
existe
tal que para todo
,
Isso significa que
Então para
Dividindo por
e fazendo
dá
Como
é arbitrário,
, isto é
Resposta
Se
é da ordem inferior, igual ou superior a
quando
, então
é, respectivamente, da ordem inferior, igual ou superior a
. Em símbolos: