Se a ordem de grandeza da funçāo positiva f(x) fôr superior, igual ou inferior ò de x^m quando x-approx provar que integrala^x f(xi) d xi tem ordem de grandeza correspondente a ordem de grandrza de x^m+1.

Passo 1

O enunciado diz que f:[a,infty)toR^+ e que, quando xtoinfty, a ordem de grandeza de f(x) em relação a x^m pode ser:
  • inferior: f(x)=o(x^m),
  • igual: f(x)sim L,x^m com 0<L<infty,
  • superior: f(x)=omega(x^m).
    Queremos mostrar que
I(x)=integrala^xf(xi),dxi
tem ordem de grandeza em relação a x^m+1 correspondente a cada caso acima. Para isso usaremos definições de comparação de funções e o fato de
integral x^m,d x=x^m+1m+1,

Passo 2

Caso f(x)=O(x^m).
Por definição existe M>0 e X0>= a tais que para todo x>= X0 vale
0<= f(x)<= M,x^m
Então para x>= X0
I(x)=integrala^xf(xi),dxi =integrala^X0f(xi),dxi +integralX0^xf(xi),dxi <= C+integralX0^xM,xi^m,dxi
onde C=integrala^X0f(xi),dxi é constante. Calculando a integral de xi^m:
integralX0^xxi^m,dxi =x^m+1-X0^m+1m+1
segue que
I(x)<= C+Mm+1l(x^m+1-X0^m+1r) =Ol(x^m+1r)

Passo 3

Caso f(x)=o(x^m).
Isso significa que limxtoinftyf(x)/x^m=0. Logo dado varepsilon>0 existe X1 tal que, para x>= X1,
0<= f(x)<= varepsilon,x^m
Analogamente ao passo anterior, para x>= X1
I(x)<= C'+integralX1^xvarepsilon,xi^m,dxi =C'+varepsilonm+1l(x^m+1-X1^m+1r),
onde C'=integrala^X1f(xi),dxi. Dividindo por x^m+1 e fazendo xtoinfty obtemos
I(x)x^m+1<=C'x^m+1+varepsilonm+1l(1-l(X1/xr)^m+1r) longrightarrowvarepsilonm+1
Como varepsilon é arbitrário, lim I(x)/x^m+1=0, ou seja
I(x)=ol(x^m+1r)

Passo 4

Caso f(x)sim L,x^m com 0<L<infty.
Escrevemos
f(x)=L,x^m+r(x),onde r(x)=ol(x^mr)
Então
I(x) =integrala^xL,xi^m,dxi+integrala^xr(xi),dxi =Lm+1l(x^m+1-a^m+1r) +integrala^xr(xi),dxi
O primeiro termo é Lm+1x^m+1+O(1), e pelo Passo 3 integrala^xr(xi),dxi=o(x^m+1). Portanto
I(x)=Lm+1,x^m+1+ol(x^m+1r),
ou seja I(x)sim tfracLm+1x^m+1.

Passo 5

Caso f(x)=omega(x^m).
Isso significa que limxtoinftyf(x)/x^m=+infty. Dado K>0 existe X2 tal que para todo x>= X2,
f(x)>= K,x^m
Então para x>= X2
I(x)>=integralX2^xK,xi^m,dxi =Km+1l(x^m+1-X2^m+1r)
Dividindo por x^m+1 e fazendo xtoinfty
I(x)x^m+1>=Km+1l(1-(X2/x)^m+1r)longrightarrow Km+1
Como K é arbitrário, lim I(x)/x^m+1=+infty, isto é
I(x)=omegal(x^m+1r)

Resposta

Se f(x) é da ordem inferior, igual ou superior a x^m quando xtoinfty, então
integrala^xf(xi),dxi
é, respectivamente, da ordem inferior, igual ou superior a x^m+1. Em símbolos:
f(x)=o(x^m),Rightarrow,integrala^xf= o(x^m+1), f(x)sim L,x^m,Rightarrow,integrala^xfsim Lm+1x^m+1, f(x)=omega(x^m),Rightarrow,integrala^xf=omega(x^m+1)

Exercícios de Livros Relacionados