• Seja Pa(x)=12^2 n! d^ad x^a(x^2-1)^a, Mostrar que
integral-1^1 P0(x) Pinfty(x) d x=0, se m neq n

Passo 1

O enunciado apresenta os polinômios de Legendre definidos pela fórmula de Rodrigues
Pa(x)=12^aa!d^adx^al(x^2-1r)^a
Queremos mostrar a propriedade de ortogonalidade
integral-1^1Pm(x),Pn(x),dx=0sempre que mneq n
Para isso, usaremos integração por partes e o fato de que derivadas de ordem maior que o grau de um polinômio são nulas.

Passo 2

Sem perda de generalidade, suponha m<n. Definimos
Im,n=integral-1^1Pm(x),Pn(x),dx
Substituindo a fórmula de Rodrigues para Pn(x) obtemos
Im,n =integral-1^1Pm(x),12^nn!,d^ndx^nl(x^2-1r)^n,dx

Passo 3

Aplicamos integração por partes n vezes, deslocando as n derivadas de l(x^2-1r)^n para Pm(x). A cada aplicação surge um termo de contorno em x=pm1 que envolve l(x^2-1r)^k com k>=1, e esses fatores se anulam em x=pm1. Logo todos os termos de contorno desaparecem, restando
Im,n =(-1)^n2^nn! integral-1^1l(x^2-1r)^n,d^ndx^nPm(x),dx

Passo 4

Como Pm(x) é um polinômio de grau m<n, sua derivada de ordem n é identicamente zero:
d^ndx^nPm(x)=0
Portanto o integrando é zero em todo o intervalo, e concluímos que
Im,n=0

Resposta

integral-1^1Pm(x),Pn(x),dx=0 sempre que mneq n.

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