- Seja
, Mostrar que
Passo 1
O enunciado apresenta os polinômios de Legendre definidos pela fórmula de Rodrigues
Queremos mostrar a propriedade de ortogonalidade
Para isso, usaremos integração por partes e o fato de que derivadas de ordem maior que o grau de um polinômio são nulas.
Passo 2
Sem perda de generalidade, suponha
. Definimos
Substituindo a fórmula de Rodrigues para
obtemos
Passo 3
Aplicamos integração por partes
vezes, deslocando as
derivadas de
para
. A cada aplicação surge um termo de contorno em
que envolve
com
, e esses fatores se anulam em
. Logo todos os termos de contorno desaparecem, restando
Passo 4
Como
é um polinômio de grau
, sua derivada de ordem
é identicamente zero:
Portanto o integrando é zero em todo o intervalo, e concluímos que