Num país sem inflação, o sr. Olavo recebeu 100000,00 de prêmio em uma loteria Se e<= aplicar esse valor num fundo que rende juros compostos à taxa de 0,5% am e sacar êà 1000,00 por mês (começando 1 mês após o depósito), durante quantos meses aproximadamente ele poderá efetuar os saques até esgotar seu saldo? Qual seria a resposta se ele sacasse $ 2000,00 por mês?

Passo 1

O enunciado diz que o senhor Olavo recebeu $100,000 e vai aplicar esse valor num fundo que rende juros compostos de 0,5% ao mês. A cada mês (começando um mês após o depósito) ele saca um valor fixo R até que o saldo fique nulo. O conteúdo aqui é o cálculo do número de períodos de uma anuidade com taxa de juros compostos. Vamos usar a fórmula do valor presente de uma anuidade.

Passo 2

A fórmula que relaciona o valor presente P (o depósito inicial), a retirada mensal R, a taxa de juros mensal i e o número de retiradas n é
P ;=; R ;1 - (1+i)^-ni
Nosso objetivo é isolar n. Reescrevendo,
P,iR ;=; 1 - (1+i)^-n Longrightarrow (1+i)^-n ;=; 1 - P,iR Longrightarrow n ;=; -ln!l(1 - dfracP,iRr)ln(1+i)

Passo 3

Identificamos os dados:
P = 100,000, i = 0,5% = 0,005
Primeiro caso: R = 1,000. Então
1 - P,iR = 1 - 100,000 cdot 0,0051,000 = 1 - 5001,000 = 1 - 0,5 = 0,5
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n = -ln(0,5)ln(1,005) = ln(2)ln(1,005)

Passo 4

Agora o cálculo numérico:
ln(2)approx 0,693147, ln(1,005)approx 0,0049875
n approx 0,6931470,0049875 approx 139,0
Ou seja, aproximadamente 139 meses de saque de $1,000.

Passo 5

Para R = 2,000:
1 - P,iR = 1 - 100,000 cdot 0,0052,000 = 1 - 5002,000 = 1 - 0,25 = 0,75
n = -ln(0,75)ln(1,005) = lnl(tfrac10,75r)ln(1,005) = ln(tfrac43)ln(1,005)
Fazendo o cálculo:
lnl(tfrac43r)approx 0,287682, ln(1,005)approx 0,0049875
n approx 0,2876820,0049875 approx 57,7
Ou seja, cerca de 58 meses de saque de $2,000.

Resposta

Ele poderá sacar $1,000 por aproximadamente 139 meses.
Se sacar $2,000 por mês, poderá fazê-lo por cerca de 58 meses.

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