Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. De quantos modos distintos podem ser permutadas as letras dessa palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes?
Passo 1
O enunciado descreve uma palavra formada por
vogais e
consoantes, todas distintas, e pede o número de permutações das
letras de modo que não haja duas vogais adjacentes nem duas consoantes adjacentes. Vamos usar combinatória de permutações com restrição de adjacência.
Passo 2
Para garantir que não apareçam duas vogais ou duas consoantes juntas, as letras devem necessariamente alternar entre vogal e consoante. Logo, qualquer arranjo válido tem a forma
ou
Como há exatamente
vogais e
consoantes, só existem esses dois padrões de alternância: começar com vogal ou começar com consoante.
Passo 3
Em cada um dos dois padrões, as
vogais podem ser permutadas entre as suas posições de
maneiras, e as
consoantes, entre as suas posições, também de
maneiras.
Passo 4
Multiplicando o número de padrões (2) pelas permutações das vogais e das consoantes, obtemos o total de arranjos: