Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. De quantos modos distintos podem ser permutadas as letras dessa palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes?

Passo 1

O enunciado descreve uma palavra formada por N vogais e N consoantes, todas distintas, e pede o número de permutações das 2N letras de modo que não haja duas vogais adjacentes nem duas consoantes adjacentes. Vamos usar combinatória de permutações com restrição de adjacência.

Passo 2

Para garantir que não apareçam duas vogais ou duas consoantes juntas, as letras devem necessariamente alternar entre vogal e consoante. Logo, qualquer arranjo válido tem a forma
V,C,V,C,dots
ou
C,V,C,V,dots.
Como há exatamente N vogais e N consoantes, só existem esses dois padrões de alternância: começar com vogal ou começar com consoante.

Passo 3

Em cada um dos dois padrões, as N vogais podem ser permutadas entre as suas posições de N! maneiras, e as N consoantes, entre as suas posições, também de N! maneiras.

Passo 4

Multiplicando o número de padrões (2) pelas permutações das vogais e das consoantes, obtemos o total de arranjos:
2 times N! times N! ;=;2,(N!)^2

Resposta

2,(N!)^2

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