9.5.17 A função modificada de Bessel
satisfaz a equação diferencial
Pelo Exercício 7.3.4 verifica-se que o termo dominante em uma expansão assintótica é
Suponha uma série da forma
Determine os coeficientes
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de
e indica que a expansão assintótica para
tem forma
Queremos determinar os coeficientes
e
. A técnica é substituir esse ansatz na EDO, usar derivação de produto e igualar coeficientes em potências decrescentes de
.
Passo 2
Definimos
de modo que
Como a constante
é irrelevante para a EDO homogênea, tomamos
e vamos achar a equação que satisfaz
.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
por log-derivada:
Passo 4
Escrevendo
temos
Substituindo em
e dividindo por , simplifica-se para
e dividindo por
Passo 5
Agora plugamos
então
Na equação
coletamos termos de mesma ordem em
:
- Ordem
: - Ordem
: