9.5.17 A função modificada de Bessel I_{0}(x) satisfaz a equação diferencial
x^{2} \frac{d^{2}}{d x^{2}} I_{0}(x)+x \frac{d}{d x} I_{0}(x)-x^{2} I_{0}(x)=0
Pelo Exercício 7.3.4 verifica-se que o termo dominante em uma expansão assintótica é
I_{0}(x) \sim \frac{e^{x}}{\sqrt{2 \pi x}}
Suponha uma série da forma
I_{0}(x) \sim \frac{e^{x}}{\sqrt{2 \pi x}}\left\{1+b_{1} x^{-1}+b_{2} x^{-2}+\cdots\right\}
Determine os coeficientes b_{1} e b_{2}.
\text { Resposta: } b_{1}=\frac{1}{8}, \quad b_{2}=\frac{9}{128}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de I_{0}(x)
x^{2}I_{0}''(x)+xI_{0}'(x)-x^{2}I_{0}(x)=0
e indica que a expansão assintótica para x\to\infty tem forma
I_{0}(x)\sim \frac{e^{x}}{\sqrt{2\pi x}}\Bigl(1+b_{1}x^{-1}+b_{2}x^{-2}+\cdots\Bigr).
Queremos determinar os coeficientes b_{1} e b_{2}. A técnica é substituir esse ansatz na EDO, usar derivação de produto e igualar coeficientes em potências decrescentes de x.

Passo 2

Definimos
y(x)=I_{0}(x),\quad f(x)=\frac{e^{x}}{\sqrt{2\pi x}}\sim e^{x}x^{-1/2},\quad S(x)=1+b_{1}x^{-1}+b_{2}x^{-2}+\cdots,
de modo que
y(x)=f(x)\,S(x).
Como a constante 1/\sqrt{2\pi} é irrelevante para a EDO homogênea, tomamos f(x)=e^{x}x^{-1/2} e vamos achar a equação que satisfaz S(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de f por log-derivada:
\frac{f'}{f}=\bigl(\ln f\bigr)'=1-\frac{1}{2x}, \qquad \frac{f''}{f}=\Bigl(\frac{f'}{f}\Bigr)'+\Bigl(\frac{f'}{f}\Bigr)^{2} =1-\frac{1}{x}+\frac{3}{4x^{2}}.

Passo 4

Escrevendo y=fS temos
y'=f\bigl(S'+(1-\tfrac1{2x})S\bigr), \qquad y''=f\bigl(S''+2(1-\tfrac1{2x})S'+(1-\tfrac1{x}+\tfrac{3}{4x^{2}})S\bigr).
Substituindo em
\;x^{2}y''+xy'-x^{2}y=0\;
e dividindo por f, simplifica-se para
x^{2}S''+2x^{2}S'+\tfrac14\,S=0 \quad\Longrightarrow\quad S''+2S'+\frac{1}{4x^{2}}S=0.

Passo 5

Agora plugamos
S(x)=1+b_{1}x^{-1}+b_{2}x^{-2}+\cdots,
então
S'(x)=-b_{1}x^{-2}-2b_{2}x^{-3}+\cdots, \quad S''(x)=2b_{1}x^{-3}+6b_{2}x^{-4}+\cdots.
Na equação
S''+2S'+\frac{1}{4x^{2}}S=0
coletamos termos de mesma ordem em x:
  • Ordem x^{-2}: -2b_{1}+\tfrac14=0 \;\Rightarrow\;b_{1}=\tfrac18.
  • Ordem x^{-3}: 2b_{1}-4b_{2}+\tfrac{b_{1}}4=0 \;\Rightarrow\;4b_{2}=\tfrac{9}{4}b_{1} \;\Rightarrow\;b_{2}=\tfrac{9}{128}.

Resposta

b_{1}=\displaystyle \frac{1}{8},\quad b_{2}=\displaystyle\frac{9}{128}.

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