9.5.17 A função modificada de Bessel I0(x) satisfaz a equação diferencial
x^2 d^2d x^2 I0(x)+x dd x I0(x)-x^2 I0(x)=0
Pelo Exercício 7.3.4 verifica-se que o termo dominante em uma expansão assintótica é
I0(x) sim e^xraiz2 pi x
Suponha uma série da forma
I0(x) sim e^xraiz2 pi x1+b1 x^-1+b2 x^-2+cdots
Determine os coeficientes b1 e b2.
Resposta: b1=18, b2=9128

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de I0(x)
x^2I0''(x)+xI0'(x)-x^2I0(x)=0
e indica que a expansão assintótica para xtoinfty tem forma
I0(x)sim e^xraiz2pi xl(1+b1x^-1+b2x^-2+cdotsr)
Queremos determinar os coeficientes b1 e b2. A técnica é substituir esse ansatz na EDO, usar derivação de produto e igualar coeficientes em potências decrescentes de x.

Passo 2

Definimos
y(x)=I0(x), f(x)=e^xraiz2pi xsim e^xx^-1/2, S(x)=1+b1x^-1+b2x^-2+cdots,
de modo que
y(x)=f(x),S(x)
Como a constante 1/raiz2pi é irrelevante para a EDO homogênea, tomamos f(x)=e^xx^-1/2 e vamos achar a equação que satisfaz S(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de f por log-derivada:
f'f=l(ln fr)'=1-12x, f''f=l(f'fr)'+l(f'fr)^2 =1-1x+34x^2

Passo 4

Escrevendo y=fS temos
y'=fl(S'+(1-tfrac12x)Sr), y''=fl(S''+2(1-tfrac12x)S'+(1-tfrac1x+tfrac34x^2)Sr)
Substituindo em
;x^2y''+xy'-x^2y=0;
e dividindo por f, simplifica-se para
x^2S''+2x^2S'+tfrac14,S=0 Longrightarrow S''+2S'+14x^2S=0

Passo 5

Agora plugamos
S(x)=1+b1x^-1+b2x^-2+cdots,
então
S'(x)=-b1x^-2-2b2x^-3+cdots, S''(x)=2b1x^-3+6b2x^-4+cdots
Na equação
S''+2S'+14x^2S=0
coletamos termos de mesma ordem em x:
  • Ordem x^-2: -2b1+tfrac14=0 ;Rightarrow;b1=tfrac18
  • Ordem x^-3: 2b1-4b2+tfracb14=0 ;Rightarrow;4b2=tfrac94b1 ;Rightarrow;b2=tfrac9128

Resposta

b1= 18, b2=9128

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