Uma partícula se dirige para um ponto que a atrai na razão direta da massa e inversa do cubo da distância. Determinar o movimento e o tempo de queda, v=0, x=a, no instante t=0.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de massa m se move ao longo de uma reta atraída para a origem por uma força que é proporcional à massa e inversamente proporcional ao cubo da distância. Podemos escrever
F = mddot x = -,m,kx^3,
onde k>0 é a constante de proporcionalidade. Inicialmente, em t=0, temos
x(0)=a, dot x(0)=v(0)=0
Queremos encontrar x(t) e o tempo de queda T até x=0.

Passo 2

Notamos que a força é conservativa, então podemos usar conservação de energia. O trabalho da força desde x=a até x altera a energia cinética segundo
12m,dot x^2 - integrala^x F,dx' = 0
Como F=-m,k/x'^3, temos
-integrala^x F,dx' = integrala^x m,kx'^3,dx' = m,kl[-tfrac12,x'^-2r]a^x = m,k2l(1x^2-1a^2r)
Logo,
12m,dot x^2 + m,k2l(!-1x^2r) = m,k2l(-1a^2r),
que simplifica para
dot x^2 = kl(1x^2-1a^2r)

Passo 3

Como a partícula se aproxima da origem ( dot x<0), escrevemos
dot x = -raizkl(1x^2-1a^2r)
Separamos variáveis:
dt = dxdot x = -dxraizkl(1x^2-1a^2r)
Integramos de x=a em t=0 até x em t:
t = integrala^x -dx'raizkl(1x'^2-1a^2r) = araizkintegralx^a x'raiza^2-x'^2,dx'
Fazendo a substituição u=a^2-x'^2 obtém-se
integralx^a x'raiza^2-x'^2,dx' = l[-raiza^2-x'^2r]x^a = raiza^2-x^2
Portanto
t = araizk;raiza^2-x^2

Passo 4

Desse resultado isolamos x em função de t:
raiza^2-x^2 = raizka,t Longrightarrow x(t) = raiz,a^2-ka^2,t^2,
O tempo de queda T até x=0 ocorre quando
0 = raiz,a^2-ka^2,T^2, Longrightarrow T = a^2raizk

Resposta

x(t) = raiz,a^2 - ka^2,t^2,, T = a^2raizk

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