Uma partícula se dirige para um ponto que a atrai na razão direta da massa e inversa do cubo da distância. Determinar o movimento e o tempo de queda,
, no instante
.
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula de massa
se move ao longo de uma reta atraída para a origem por uma força que é proporcional à massa e inversamente proporcional ao cubo da distância. Podemos escrever
onde
é a constante de proporcionalidade. Inicialmente, em
, temos
Queremos encontrar
e o tempo de queda
até
.
Passo 2
Notamos que a força é conservativa, então podemos usar conservação de energia. O trabalho da força desde
até
altera a energia cinética segundo
Como
, temos
Logo,
que simplifica para
Passo 3
Como a partícula se aproxima da origem (
), escrevemos
Separamos variáveis:
Integramos de
em
até
em
:
Fazendo a substituição
obtém-se
Portanto
Passo 4
Desse resultado isolamos
em função de
:
O tempo de queda
até
ocorre quando