A partir da fórmula de cos (a-b), demonstre a fórmula de sen(a+b). Dica: use o fato de que pi2-(a+b)=(pi2-a)-b, bem como as identidades de arcos complementares sen(x)=cos (pi2-x) e cos (x)=sen(pi2-x).

Passo 1

O objetivo é deduzir a fórmula de sen(a+b) a partir da identidade de diferença de cossenos
cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+senalphasenbeta
e das identidades de arcos complementares
sen x=cosl(tfracpi2-xr) e cos x=senl(tfracpi2-xr).

Passo 2

Usamos a identidade sen x=cosl(tfracpi2-xr) com x=a+b:
sen(a+b)=cos!l(tfracpi2-(a+b)r)
Como tfracpi2-(a+b)=(tfracpi2-a)-b, segue
sen(a+b)=cosl((tfracpi2-a)-br)

Passo 3

Aplicamos a fórmula de diferença de cossenos com alpha=tfracpi2-a e beta=b:
cosl((tfracpi2-a)-br) =cos!l(tfracpi2-ar)cos b +sen!l(tfracpi2-ar)sen b

Passo 4

Usamos as identidades complementares em cada termo:
cos(tfracpi2-a)=sen a e sen(tfracpi2-a)=cos a.
Substituindo na expressão acima, obtém-se
sen(a+b) =sen acos b+cos asen b

Resposta

sen(a+b)=sen acos b+cos asen b

Exercícios de Livros Relacionados