O perímetro de um triângulo retângulo é 90 cm . Determine a área do triângulo, sabendo que seus lados são inversamente proporcionais a 15, 112 e 113.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo cujo perímetro é 90 cm e diz que seus lados são inversamente proporcionais a tfrac15, tfrac112 e tfrac113. Vamos usar proporcionalidade inversa, achar as medidas dos lados em função de um parâmetro e então calcular a área.

Passo 2

Se três lados a,b,c são inversamente proporcionais a alpha,beta,gamma, então
a:b:c = 1alpha:1beta:1gamma
Aqui alpha=tfrac15, beta=tfrac112, gamma=tfrac113, logo
a:b:c = 5:12:13,
que é a conhecida tripla pitagórica compatível com triângulo retângulo.

Passo 3

Definimos
a = 5lambda, b = 12lambda, c = 13lambda
O perímetro é
a+b+c = (5+12+13)lambda = 30lambda,
e como esse valor deve ser 90,
30lambda = 90 Longrightarrow lambda = 3

Passo 4

Os catetos ficam a=5cdot3=15 cm e b=12cdot3=36 cm. A área de um triângulo retângulo é
Área = acdot b2 = 15cdot362 = 5402 = 270 Á

Resposta

A área do triângulo é 270 cm^2.

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