Uma pirâmide triangular tem como base um triângulo de lados 13, 14 e 15; as outras arestas medem 4258. Calcule o volume.

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide triangular cuja base é um triângulo de lados 13, 14 e 15, e cujas arestas que unem o vértice ao triângulo têm todas comprimento 4258. Queremos o volume, e para isso vamos usar a fórmula
V = Abasecdot h3,
onde Abase é a área do triângulo de base e h é a altura da pirâmide. Calcularemos Abase via fórmula de Heron e encontraremos h observando que o pé da altura é o circuncentro do triângulo, pois as distâncias aos vértices são iguais.

Passo 2

Calcular a área do triângulo de lados 13, 14 e 15 usando a fórmula de Heron. O semiperímetro é
s = 13 + 14 + 152 = 21
Portanto a área é
Abase = raizs(s-13)(s-14)(s-15) = raiz21 cdot 8 cdot 7 cdot 6 = 84

Passo 3

Determinar o raio R do círculo circunscrito ao triângulo. Sabendo que
R = a b c4,Abase
temos
R = 13 cdot 14 cdot 154 cdot 84 = 2730336 = 658

Passo 4

A distância do vértice ao plano da base é
h = raizl(4258r)^2 - R^2 = raiz18062564 - 422564 = raiz17640064 = 1052

Passo 5

Finalmente o volume da pirâmide é
V = Abasecdot h3 = 84 cdot tfrac10523 = 1470

Resposta

O volume da pirâmide é 1470.

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