Demonstre que, se um triedro tem um diedro reto, o cosseno da face oposta ao diedro reto é igual ao produto dos cossenos das faces que formam o diedro reto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um triedro cujas arestas OA, OB e OC formam ângulos de face alpha=ang<= AOB, beta=ang<= BOC, gamma=ang<= COA, se o diedro formado pelas faces OAB e OBC é reto (isto é, tem 90^circ), então vale
cosgamma ;=;cosalpha;cosbeta
Para isso, vamos usar vetores unitários e propriedades de produto vetorial e escalar para relacionar diédros e ângulos de face.

Passo 2

Escolhemos vetores unitários
u=OA|OA|, v=OB|OB|, w=OC|OC|
de modo que
ucdot v=cosalpha, vcdot w=cosbeta, ucdot w=cosgamma
As faces OAB e OBC têm normais proporcionais a utimes v e vtimes w, respectivamente.

Passo 3

Como o diedro entre OAB e OBC é reto, suas normais são ortogonais, isto é,
( utimes v);cdot;( vtimes w);=;0

Passo 4

Usamos a identidade do produto misto
( utimes v)cdot( vtimes w) =;( ucdot v),( vcdot w) ;-;( ucdot w),( vcdot v)
Como v é unitário, vcdot v=1. Logo,
0=( ucdot v)( vcdot w)-( ucdot w) =cosalpha;cosbeta-cosgamma

Passo 5

Da igualdade acima segue imediatamente
cosgamma=cosalpha;cosbeta,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

cosgamma=cosalpha;cosbeta.

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