Se
, demonstre que
é sempre menor do que 1.
Passo 1
O enunciado diz que
,
,
e, pelo Teorema do Binômio,
Como
, isso implica
Queremos provar que, para todo
,
Passo 2
Observe que, como
e
, cada termo
é estritamente positivo para todo
. Logo, em particular, há pelo menos um outro termo na soma que também é positivo (pois
e, se
é dado, sempre existe
em
).
Passo 3
Fixe um índice
. Escrevendo o termo genérico como parte da soma total, temos
Cada somando na soma à direita é positivo, então
e daí
Resposta
Para todo
vale