Se p>0, q>0, p+q=1 e(p+q)^n=sumi=0^nbinomni p^i q^n-i, n>0, demonstre que binomni p^i q^n-i é sempre menor do que 1.

Passo 1

O enunciado diz que p>0, q>0, p+q=1 e, pelo Teorema do Binômio,
(p+q)^n ;=;sumi=0^nbinomnip^iq^n-i, n>0
Como p+q=1, isso implica
sumi=0^nbinomnip^iq^n-i=1
Queremos provar que, para todo iin0,1,dots,n,
binomnip^iq^n-i<1

Passo 2

Observe que, como p>0 e q>0, cada termo binomnip^iq^n-i é estritamente positivo para todo i. Logo, em particular, há pelo menos um outro termo na soma que também é positivo (pois n>0 e, se i é dado, sempre existe jneq i em 0,dots,n).

Passo 3

Fixe um índice . Escrevendo o termo genérico como parte da soma total, temos
Cada somando na soma à direita é positivo, então
e daí

Resposta

Para todo i=0,1,dots,n vale
binomnip^iq^n-i<1

Exercícios de Livros Relacionados