Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por cinco triedros, sete ângulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos.
Passo 1
Resumindo, temos um poliedro convexo cujos vértices se dividem em quatro tipos conforme o número de faces que se encontram ali:
– cinco vértices triedros: em cada um se encontram 3 faces;
– sete vértices tetraédricos: em cada um se encontram 4 faces;
– nove vértices pentaédricos: em cada um se encontram 5 faces;
– oito vértices hexaédricos: em cada um se encontram 6 faces.
Para resolver, vamos usar duas propriedades de qualquer poliedro convexo:
– cinco vértices triedros: em cada um se encontram 3 faces;
– sete vértices tetraédricos: em cada um se encontram 4 faces;
– nove vértices pentaédricos: em cada um se encontram 5 faces;
– oito vértices hexaédricos: em cada um se encontram 6 faces.
Para resolver, vamos usar duas propriedades de qualquer poliedro convexo:
- A soma dos graus (número de arestas incidentes) de todos os vértices vale
. - A fórmula de Euler,
.
Passo 2
Calcular o número total de vértices
. Basta somar quantos há de cada tipo:
Passo 3
Cada vértice contribui com tantas arestas quanto seu grau. Somando os graus temos
Como
, segue
Passo 4
Aplicar a fórmula de Euler para achar o número de faces
:
Resposta
Número de vértices:
Número de arestas:
Número de faces:
Número de arestas:
Número de faces: