Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por cinco triedros, sete ângulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos.

Passo 1

Resumindo, temos um poliedro convexo cujos vértices se dividem em quatro tipos conforme o número de faces que se encontram ali:
– cinco vértices triedros: em cada um se encontram 3 faces;
– sete vértices tetraédricos: em cada um se encontram 4 faces;
– nove vértices pentaédricos: em cada um se encontram 5 faces;
– oito vértices hexaédricos: em cada um se encontram 6 faces.
Para resolver, vamos usar duas propriedades de qualquer poliedro convexo:
  1. A soma dos graus (número de arestas incidentes) de todos os vértices vale 2E.
  2. A fórmula de Euler, ,V - E + F = 2.

Passo 2

Calcular o número total de vértices V. Basta somar quantos há de cada tipo:
V = 5 + 7 + 9 + 8 = 29

Passo 3

Cada vértice contribui com tantas arestas quanto seu grau. Somando os graus temos
sum deg(v) = 3cdot5 + 4cdot7 + 5cdot9 + 6cdot8 = 15 + 28 + 45 + 48 = 136
Como sum deg(v)=2E, segue
E = 1362 = 68

Passo 4

Aplicar a fórmula de Euler para achar o número de faces F:
V - E + F = 2 Longrightarrow 29 - 68 + F = 2 Longrightarrow F = 2 - 29 + 68 = 41

Resposta

Número de vértices: 29
Número de arestas: 68
Número de faces: 41

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