Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos?
Passo 1
O enunciado fala de um poliedro convexo com arestas cujas faces são só quadrângulos e pentágonos, e diz que a soma de todos os ângulos das faces equivale a ângulos retos. Vamos usar a relação entre arestas e faces para contar quantas de cada tipo existem e também a fórmula da soma de ângulos internos de um polígono.
Passo 2
Seja o número de faces quadrangulares e o número de faces pentagonais. Cada aresta é contada por duas faces, logo
Passo 3
A soma dos ângulos internos de um quadrângulo é , ou seja, ângulos retos; a de um pentágono é , isto é, ângulos retos. Como a soma total é ângulos retos,
Passo 4
Resolvendo o sistema
subtraímos a primeira da segunda e achamos P=2. Substituindo em 4Q+5P=30 vem 4Q+10=30, logo Q=5.
Resposta
Existem 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 198