Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos?

Passo 1

O enunciado fala de um poliedro convexo com 15 arestas cujas faces são só quadrângulos e pentágonos, e diz que a soma de todos os ângulos das faces equivale a 32 ângulos retos. Vamos usar a relação entre arestas e faces para contar quantas de cada tipo existem e também a fórmula da soma de ângulos internos de um polígono.

Passo 2

Seja Q o número de faces quadrangulares e P o número de faces pentagonais. Cada aresta é contada por duas faces, logo
4Q + 5P = 2E = 2cdot15 = 30

Passo 3

A soma dos ângulos internos de um quadrângulo é (4-2)times180^circ=360^circ, ou seja, 4 ângulos retos; a de um pentágono é (5-2)times180^circ=540^circ, isto é, 6 ângulos retos. Como a soma total é 32 ângulos retos,
4Q + 6P = 32

Passo 4

Resolvendo o sistema
4Q + 5P = 30, 4Q + 6P = 32,
subtraímos a primeira da segunda e achamos P=2. Substituindo em 4Q+5P=30 vem 4Q+10=30, logo Q=5.

Resposta

Existem 5 faces quadrangulares e 2 faces pentagonais.

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