Num poliedro convexo, 4 faces são quadriláteros e as outras triângulos. O número de arestas é o dobro do número de faces triangulares. Quantas são as faces?

Passo 1

O enunciado diz que o poliedro convexo tem 4 faces quadriláteras e Ft faces triangulares, totalizando
F = Ft + 4
faces. Além disso, o número de arestas é dado por
E = 2,Ft
Para resolver, vamos usar a relação entre a soma dos lados das faces e o número de arestas e também a fórmula de Euler para poliedros.

Passo 2

Em qualquer poliedro convexo, a soma dos números de lados de todas as faces vale 2E, pois cada aresta pertence a duas faces. Aqui essa soma é
3,Ft + 4cdot 4 = 3,Ft + 16,
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3,Ft + 16 = 2E

Passo 3

Substituindo E = 2,Ft na relação do passo anterior, obtemos
3,Ft + 16 = 2,(2,Ft) = 4,Ft Longrightarrow 16 = 4,Ft - 3,Ft = Ft
Portanto há Ft = 16 faces triangulares.

Passo 4

Logo o número total de faces é
F = Ft + 4 = 16 + 4 = 20

Resposta

O poliedro possui 20 faces.

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