Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em duas unidades. Calcule o número de faces de cada tipo, sabendo que o poliedro tem 7 vértices.

Passo 1

Vamos chamar de T o número de faces triangulares, de Q o número de faces quadrangulares e de P o número de faces pentagonais. O enunciado diz que
  1. O poliedro é convexo, só tem esses tipos de faces e tem 7 vértices;
  2. As faces triangulares excedem as pentagonais em duas unidades, ou seja,
T = P + 2

Passo 2

Usamos a Fórmula de Euler para poliedros convexo:
V - E + F = 2,
onde V=7 é o número de vértices, F=T+Q+P é o número total de faces e E é o número de arestas. Assim
7 - E + (T+Q+P) = 2 Longrightarrow E = T + Q + P + 5

Passo 3

Contamos as incidências de arestas nas faces. Cada face triangular contribui com 3 arestas, cada quadrangular com 4 e cada pentagonal com 5, mas somando sobre todas as faces cada aresta é contada duas vezes. Logo
3T + 4Q + 5P = 2E
Substituindo E = T + Q + P + 5:
3T + 4Q + 5P = 2l(T + Q + P + 5r) =2T + 2Q + 2P + 10
Reorganizando e usando T = P + 2:
3(P+2) + 4Q + 5P = 2(P+2) + 2Q + 2P + 10 Longrightarrow 3P+6 +4Q+5P = 2P+4 +2Q+2P+10
8P +4Q +6 =4P +2Q +14 Longrightarrow 4P +2Q = 8 Longrightarrow 2P + Q =4

Passo 4

Da equação 2P + Q = 4 e sabendo que T,P,Q são inteiros não negativos, testamos valores de P:
  • Se P=0, Q=4 e T=2.
  • Se P=1, Q=2 e T=3.
  • Se P=2, Q=0 e T=4.
Como o enunciado afirma que há faces triangulares, quadrangulares e pentagonais, precisamos de pelo menos uma face de cada tipo; portanto P>=1 e Q>=1. A única escolha que satisfaz é
P=1, Q=2, T=P+2=3

Resposta

Faces triangulares: 3
Faces quadrangulares: 2
Faces pentagonais: 1

Exercícios de Livros Relacionados