Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em duas unidades. Calcule o número de faces de cada tipo, sabendo que o poliedro tem 7 vértices.
Passo 1
Vamos chamar de
o número de faces triangulares, de
o número de faces quadrangulares e de
o número de faces pentagonais. O enunciado diz que
- O poliedro é convexo, só tem esses tipos de faces e tem
vértices; - As faces triangulares excedem as pentagonais em duas unidades, ou seja,
Passo 2
Usamos a Fórmula de Euler para poliedros convexo:
onde
é o número de vértices,
é o número total de faces e
é o número de arestas. Assim
Passo 3
Contamos as incidências de arestas nas faces. Cada face triangular contribui com 3 arestas, cada quadrangular com 4 e cada pentagonal com 5, mas somando sobre todas as faces cada aresta é contada duas vezes. Logo
Substituindo
:
Reorganizando e usando
:
Passo 4
Da equação
e sabendo que
são inteiros não negativos, testamos valores de
:
- Se
, e . - Se
, e . - Se
, e .
Como o enunciado afirma que há faces triangulares, quadrangulares e pentagonais, precisamos de pelo menos uma face de cada tipo; portanto
e
. A única escolha que satisfaz é
Resposta
Faces triangulares:
Faces quadrangulares:
Faces pentagonais:
Faces quadrangulares:
Faces pentagonais: