Um poliedro de sete vértices tem cinco ângulos tetraédricos e dois ângulos pentaédricos. Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?
Passo 1
O enunciado diz que o poliedro tem
vértices, dos quais 5 são ângulos tetraédricos (cada um determinado por 4 faces encontrando-se ali) e 2 são ângulos pentaédricos (cada um determinado por 5 faces). Vamos usar dois resultados clássicos:
- Em todo poliedro convexo, a soma dos graus dos vértices (número de arestas ou faces incidentes em cada vértice) é
- O Teorema de Euler:
Passo 2
Cada vértice tetraédrico tem grau 4 (4 faces), e cada vértice pentaédrico tem grau 5. Logo
Pelo lema da mão-dada,
Passo 3
Agora aplicamos o Teorema de Euler para encontrar
:
Resposta
O poliedro tem
arestas e
faces.