Um poliedro de sete vértices tem cinco ângulos tetraédricos e dois ângulos pentaédricos. Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?

Passo 1

O enunciado diz que o poliedro tem V=7 vértices, dos quais 5 são ângulos tetraédricos (cada um determinado por 4 faces encontrando-se ali) e 2 são ângulos pentaédricos (cada um determinado por 5 faces). Vamos usar dois resultados clássicos:
  1. Em todo poliedro convexo, a soma dos graus dos vértices (número de arestas ou faces incidentes em cada vértice) é
sumvértices deg(v) ;=; 2E é
  1. O Teorema de Euler:
V - E + F = 2

Passo 2

Cada vértice tetraédrico tem grau 4 (4 faces), e cada vértice pentaédrico tem grau 5. Logo
sumvértices deg(v) = 5cdot 4 ;+; 2cdot 5 = 20 + 10 = 30 é
Pelo lema da mão-dada,
2E = 30 Longrightarrow E = 15

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema de Euler para encontrar F:
V - E + F = 2 Longrightarrow 7 - 15 + F = 2 Longrightarrow F = 2 + 15 - 7 = 10

Resposta

O poliedro tem 15 arestas e 10 faces.

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