Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que os números de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro.

Passo 1

O enunciado trata de um poliedro convexo cujas faces são apenas triângulos e quadriláteros, sendo que o número de faces triangulares T e quadrangulares Q satisfaz
TQ = 23,
e ainda verifica-se que o número de arestas E é o dobro do número de vértices V, ou seja,
E = 2V
Para resolver, vamos usar (i) a proporcionalidade para expressar T e Q em função de um parâmetro k, (ii) a fórmula de Euler V - E + F = 2 com F=T+Q e (iii) a relação de contagem de incidência entre faces e arestas.

Passo 2

Da proporcionalidade tfracTQ = tfrac23, escrevemos
T = 2k, Q = 3k,
para algum kinN. Logo o número total de faces é
F = T + Q = 2k + 3k = 5k

Passo 3

Pela fórmula de Euler para poliedros convexos, temos
V - E + F = 2
Como E = 2V, substituímos e obtemos
V - 2V + F = 2 ;;Longrightarrow;; -,V + F = 2 ;;Longrightarrow;; F = V + 2

Passo 4

Contamos as incidências faces–arestas: cada face triangular contribui com 3 arestas e cada quadrangular com 4, mas cada aresta é contada duas vezes. Assim
2E = 3T + 4Q
Substituindo E=2V
2,(2V) = 3T + 4Q ;;Longrightarrow;; 4V = 3T + 4Q

Passo 5

Agora substituímos T=2k e Q=3k em 4V = 3T + 4Q:
4V = 3(2k) + 4(3k) = 6k + 12k = 18k ;;Longrightarrow;; V = 18k4 = 92,k

Passo 6

Temos duas expressões para F:
F = 5k e F = V + 2 = 92,k + 2
Igualando-as,
5k = 92,k + 2 ;;Longrightarrow;; 10k = 9k + 4 ;;Longrightarrow;; k = 4

Passo 7

Com k = 4, o número total de faces é
F = 5k = 5 times 4 = 20

Resposta

O poliedro possui 20 faces.

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