Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que os números de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro.
Passo 1
O enunciado trata de um poliedro convexo cujas faces são apenas triângulos e quadriláteros, sendo que o número de faces triangulares
e quadrangulares
satisfaz
e ainda verifica-se que o número de arestas
é o dobro do número de vértices
, ou seja,
Para resolver, vamos usar (i) a proporcionalidade para expressar
e
em função de um parâmetro
, (ii) a fórmula de Euler
com
e (iii) a relação de contagem de incidência entre faces e arestas.
Passo 2
Da proporcionalidade
, escrevemos
para algum
. Logo o número total de faces é
Passo 3
Pela fórmula de Euler para poliedros convexos, temos
Como
, substituímos e obtemos
Passo 4
Contamos as incidências faces–arestas: cada face triangular contribui com 3 arestas e cada quadrangular com 4, mas cada aresta é contada duas vezes. Assim
Substituindo
dá
Passo 5
Agora substituímos
e
em
:
Passo 6
Temos duas expressões para
:
Igualando-as,
Passo 7
Com
, o número total de faces é
Resposta
O poliedro possui
faces.