Um polígono convexo tem 5 lados mais do que o outro. Sabendo que o número total de diagonais vale 68, determine o número de diagonais de cada polígono.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos dois polígonos convexos; um deles tem n lados e o outro tem n+5 lados. O número total de diagonais dos dois é 68. O conteúdo envolvido é a fórmula que dá a quantidade de diagonais de um polígono convexo de k lados, que é
k(k-3)2

Passo 2

Vamos expressar a soma das diagonais dos dois polígonos.
– O primeiro polígono (com n lados) tem
D1 = n(n-3)2
– O segundo polígono (com n+5 lados) tem
D2 = (n+5)l((n+5)-3r)2 = (n+5)(n+2)2
Como o total é 68, formamos a equação
n(n-3)2 ;+;(n+5)(n+2)2 ;=;68

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 e somando termos semelhantes, obtemos
n(n-3) + (n+5)(n+2) = 136
n^2 - 3n + n^2 + 7n + 10 = 136
2n^2 + 4n + 10 - 136 = 0
2n^2 + 4n - 126 = 0
Dividindo por 2,
n^2 + 2n - 63 = 0
Essa equação tem discriminante De<a = 2^2 - 4cdot1cdot(-63)=256, logo
n = -2 pm 162 = 7 ou -9
Desprezamos n=-9 porque não faz sentido para número de lados.

Passo 4

Portanto n=7. Calculamos as diagonais de cada polígono:
– Para n=7 lados:
D1 = 7(7-3)2 = 7cdot42 = 14
– Para n+5=12 lados:
D2 = 12(12-3)2 = 12cdot92 = 54
Verificamos que 14 + 54 = 68, conforme o enunciado.

Resposta

O polígono com 7 lados tem 14 diagonais e o polígono com 12 lados tem 54 diagonais.

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