Um polígono convexo tem 5 lados mais do que o outro. Sabendo que o número total de diagonais vale 68, determine o número de diagonais de cada polígono.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos dois polígonos convexos; um deles tem
lados e o outro tem
lados. O número total de diagonais dos dois é 68. O conteúdo envolvido é a fórmula que dá a quantidade de diagonais de um polígono convexo de
lados, que é
Passo 2
Vamos expressar a soma das diagonais dos dois polígonos.
– O primeiro polígono (com lados) tem
– O primeiro polígono (com
– O segundo polígono (com
lados) tem
Como o total é 68, formamos a equação
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por 2 e somando termos semelhantes, obtemos
Dividindo por 2,
Essa equação tem discriminante
, logo
Desprezamos
porque não faz sentido para número de lados.
Passo 4
Portanto
. Calculamos as diagonais de cada polígono:
– Para lados:
– Para
– Para
lados:
Verificamos que
, conforme o enunciado.
Resposta
O polígono com 7 lados tem 14 diagonais e o polígono com 12 lados tem 54 diagonais.