Os números que exprimem o número de lados de três polígonos são n-3, n e n+3. Determine o número de diagonais de cada um dos polígonos, sabendo que a soma de todos os seus ângulos internos vale 3240^circ.
Solução
& n1=n-3 ; n2=n ; n3=n+3 & (n-3-2) 180^circ+(n-2) 180^circ+(n+3-2) 180^circ=3240^circ & (n-5) 180^circ+(n-2) 180^circ+(n+1) 180^circ=3240^circ & (n-5+n-2+n+1) 180^circ=3240^circ & 3 n-6=18 Rightarrow 3 n=24 Rightarrow n=8
Então:
n1=5 e d d1=5(5-3)2=5 n2=8 e d d2=8(8-3)2=20
n3=11 e d d3=11(11-3)2=44

Passo 1

O enunciado diz que temos três polígonos com números de lados
n1=n-3, n2=n, n3=n+3
e que a soma dos ângulos internos dos três é 3240^circ.
Para resolver, usamos duas fórmulas fundamentais:
  1. A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é
(n-2),180^circ
  1. O número de diagonais de um polígono de n lados é
d = n(n-3)2

Passo 2

Escrevemos a soma das três somas de ângulos internos igual a 3240^circ:
l((n-3)-2r),180^circ + (n-2),180^circ + l((n+3)-2r),180^circ = 3240^circ
Dentro dos parênteses temos
(n-5) + (n-2) + (n+1) = 3n - 6,
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(3n - 6),180^circ = 3240^circ
Dividindo por 180^circ:
3n - 6 = 18 Longrightarrow 3n = 24 Longrightarrow n = 8

Passo 3

Substituindo n=8, obtemos os números de lados:
n1 = 8 - 3 = 5, n2 = 8, n3 = 8 + 3 = 11

Passo 4

Agora calculamos as diagonais di = ni(ni-3)2 para cada caso:
Para n1=5:
d1 = 5,(5-3)2 = 5cdot22 = 5
Para n2=8:
d2 = 8,(8-3)2 = 8cdot52 = 20
Para n3=11:
d3 = 11,(11-3)2 = 11cdot82 = 44

Resposta

O polígono de 5 lados tem 5 diagonais.
O polígono de 8 lados tem 20 diagonais.
O polígono de 11 lados tem 44 diagonais.

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