Um polígono regular possui 30 diagonais que não passam pelo seu centro. Quanto mede cada ângulo interno dele?
Solução
Um polígono regular só tem diagonais passando pelo centro se o número
de lados for par e o número de diagonais que passam pelo centro for
. Nesse problema temos que considerar 2 casos:
1:) n é impar - Não há diagonal passando pelo centro.
Neste caso o número total de diagonais é
.
Vamos calcular o número de lados:
As raízes da equação não são números naturais (
). Logo, não existe polígono com 30 diagonais e com número ímpar de lados.
2?) n é par - Há
diagonais passando pelo centro.
Neste caso o número total de diagonais é
.
A raiz da equação que é número natural é
.
O polígono é o decágono regular.
Cálculo do ângulo interno:
1:) n é impar - Não há diagonal passando pelo centro.
Neste caso o número total de diagonais é
Vamos calcular o número de lados:
2?) n é par - Há
Neste caso o número total de diagonais é
A raiz da equação que é número natural é
O polígono é o decágono regular.
Cálculo do ângulo interno:
Passo 1
No enunciado, temos um polígono regular com
diagonais que não passam pelo centro e precisamos achar a medida de cada ângulo interno. Para isso, vamos usar a fórmula das diagonais de um polígono de
lados e a fórmula que dá o ângulo interno de um polígono regular.
Passo 2
Em qualquer polígono de
lados, o número total de diagonais é
Se
é par, o polígono tem exatamente
diagonais que passam pelo centro; se
é ímpar, não há diagonais centrais. Então, o número de diagonais que não passam pelo centro vale
Passo 3
Vamos testar primeiro
ímpar. Nesse caso,
Multiplicando por
e rearranjando, chega-se em
O discriminante é
, que não é quadrado perfeito. Não sai
inteiro, então
ímpar não serve.
Passo 4
Agora
par. A relação fica
Multiplicando tudo por
e fatorando dá
cuja solução positiva é
Ou seja, o polígono é um decágono regular (
).
Passo 5
A medida de cada ângulo interno de um polígono regular de
lados é
Substituindo
,
Resposta
Cada ângulo interno mede
.