Um polígono regular possui 30 diagonais que não passam pelo seu centro. Quanto mede cada ângulo interno dele?

Solução

Um polígono regular só tem diagonais passando pelo centro se o número n de lados for par e o número de diagonais que passam pelo centro for n2. Nesse problema temos que considerar 2 casos:
1:) n é impar - Não há diagonal passando pelo centro.
Neste caso o número total de diagonais é d=30.
Vamos calcular o número de lados:
d=n(n-3)2 Rightarrow 30=n(n-3)2 Rightarrow n^2-3 n-60=0
As raízes da equação não são números naturais ( De<a=249 ). Logo, não existe polígono com 30 diagonais e com número ímpar de lados.
2?) n é par - Há n2 diagonais passando pelo centro.
Neste caso o número total de diagonais é d=n2+30.
d=n(n-3)2 Rightarrow n2+30=n(n-3)2 Rightarrow n^2-4 n-60=0
A raiz da equação que é número natural é n=10.
O polígono é o decágono regular.
Cálculo do ângulo interno:
ai=180^circ-ae=180^circ-360^circ10 Rightarrow ai=144^circ

Passo 1

No enunciado, temos um polígono regular com 30 diagonais que não passam pelo centro e precisamos achar a medida de cada ângulo interno. Para isso, vamos usar a fórmula das diagonais de um polígono de n lados e a fórmula que dá o ângulo interno de um polígono regular.

Passo 2

Em qualquer polígono de n lados, o número total de diagonais é
dtot = n(n-3)2
Se n é par, o polígono tem exatamente n2 diagonais que passam pelo centro; se n é ímpar, não há diagonais centrais. Então, o número de diagonais que não passam pelo centro vale
dnc = dtot - 0, & n ímpar, n2, & n par í

Passo 3

Vamos testar primeiro n ímpar. Nesse caso,
dnc = n(n-3)2 = 30
Multiplicando por 2 e rearranjando, chega-se em
n^2 - 3n - 60 = 0
O discriminante é De<a = 9 + 240 = 249, que não é quadrado perfeito. Não sai n inteiro, então n ímpar não serve.

Passo 4

Agora n par. A relação fica
n(n-3)2 - n2 = 30
Multiplicando tudo por 2 e fatorando dá
n^2 - 4n - 60 = 0,
cuja solução positiva é
n = 4 + raiz2562 = 4 + 162 = 10
Ou seja, o polígono é um decágono regular ( n=10).

Passo 5

A medida de cada ângulo interno de um polígono regular de n lados é
ai = 180^circ - 360^circn
Substituindo n=10,
ai = 180^circ - 360^circ10 = 180^circ - 36^circ = 144^circ

Resposta

Cada ângulo interno mede 144^circ.

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