Prove que, se a bissetriz relativa a um lado de um triângulo é também mediana relativa a esse lado, então esse triângulo é isósceles.
Passo 1
Temos um triângulo
e um segmento
que, ao mesmo tempo, é bissetriz do ângulo
e mediana relativa ao lado
. Ou seja:
– Por ser mediana, é o ponto médio de
, então
– Por ser mediana,
– Por ser bissetriz,
divide o ângulo
em dois ângulos iguais:
O objetivo é mostrar que
, ou seja, que o triângulo
é isósceles com vértice em
.
Passo 2
Aplicamos o Teorema da Bissetriz Interna no triângulo
. Ele diz que, se
é bissetriz de
, então os segmentos
e
(no lado oposto) ficam proporcionais aos lados adjacentes
e
:
Passo 3
Como
também é mediana, sabemos que
. Logo,
Substituindo na proporção do Teorema da Bissetriz, vem
Resposta
O triângulo
é isósceles, pois
.