Prove que, se a bissetriz relativa a um lado de um triângulo é também mediana relativa a esse lado, então esse triângulo é isósceles.

Passo 1

Temos um triângulo ABC e um segmento AD que, ao mesmo tempo, é bissetriz do ângulo ang<= BAC e mediana relativa ao lado BC. Ou seja:
– Por ser mediana, D é o ponto médio de BC, então
BD = DC
– Por ser bissetriz, AD divide o ângulo ang<= BAC em dois ângulos iguais:
ang<= BAD = ang<= DAC
O objetivo é mostrar que AB = AC, ou seja, que o triângulo ABC é isósceles com vértice em A.

Passo 2

Aplicamos o Teorema da Bissetriz Interna no triângulo ABC. Ele diz que, se AD é bissetriz de ang<= BAC, então os segmentos BD e DC (no lado oposto) ficam proporcionais aos lados adjacentes AB e AC:
BDDC ;=;ABAC

Passo 3

Como AD também é mediana, sabemos que BD = DC. Logo,
BDDC = 1
Substituindo na proporção do Teorema da Bissetriz, vem
1 = ABAC Longrightarrow AB = AC

Resposta

O triângulo ABC é isósceles, pois AB = AC.

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