Se
é um ponto interno de um triângulo
, mostre que
é maior que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um triângulo
e um ponto
em seu interior, vale a desigualdade
O que vamos usar é a soma dos ângulos em torno de
e as relações de soma de ângulos em cada um dos triângulos
e
.
Passo 2
Observe que os triângulos
,
e
cobrem toda a volta em torno de
. Logo,
Passo 3
Escrevemos agora
e
em função dos ângulos nos vértices de
e
:
no triângulo
no triângulo
e no triângulo
Passo 4
Substituindo essas expressões em
, temos
Cancelando
de cada lado, chega-se a
Passo 5
Note que
,
e que, como está no interior do triângulo, os ângulos
e
são positivos. Assim
e que, como
Isso prova exatamente a desigualdade desejada.