Se P é um ponto interno de um triângulo A B C, mostre que B P C é maior que B A C.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um triângulo ABC e um ponto P em seu interior, vale a desigualdade
ang<= BPC ;>;ang<= BAC
O que vamos usar é a soma dos ângulos em torno de P e as relações de soma de ângulos em cada um dos triângulos ABP e APC.

Passo 2

Observe que os triângulos ABP, BPC e APC cobrem toda a volta em torno de P. Logo,
ang<= APB ;+;ang<= BPC ;+;ang<= CPA ;=;360^circ

Passo 3

Escrevemos agora ang<= APB e ang<= CPA em função dos ângulos nos vértices de ABP e APC:
no triângulo ABP
ang<= APB ;=;180^circ -l(ang<= ABP + ang<= BAPr),
e no triângulo APC
ang<= CPA ;=;180^circ -l(ang<= ACP + ang<= PACr)

Passo 4

Substituindo essas expressões em
ang<= APB + ang<= BPC + ang<= CPA = 360^circ, temos
l[180^circ -(ang<= ABP + ang<= BAP)r] +ang<= BPC +l[180^circ -(ang<= ACP + ang<= PAC)r] =360^circ
Cancelando 180^circ+180^circ de cada lado, chega-se a
ang<= BPC =ang<= ABP + ang<= BAP + ang<= ACP + ang<= PAC

Passo 5

Note que
ang<= BAP + ang<= PAC = ang<= BAC,
e que, como P está no interior do triângulo, os ângulos
ang<= ABP e ang<= ACP são positivos. Assim
ang<= BPC =ang<= BAC ;+;l(ang<= ABP+ang<= ACPr) >ang<= BAC
Isso prova exatamente a desigualdade desejada.

Resposta

ang<= BPC>ang<= BAC

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