Qual é a posição relativa das circunferências x^2+y^2=49 e x^2+y^2-6 x-8 y+21=0 ?

Solução

Temos: x^2+y^2=49 Rightarrow C1(0,0) e r1=7
x^2+y^2-6 x-8 y+21=0 Rightarrow C2(3,4) e r2=2
dC1 C2=raiz(3-0)^2+(4-0)^2=5=r1-r2
Resposta: Tangentes interiormente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa entre as duas circunferências
x^2+y^2=49
e
x^2+y^2-6x-8y+21=0
O conteúdo é geometria analítica de círculos: extraímos centros e raios e depois comparamos a distância entre centros d com a soma r1+r2 e a diferença lvert r1-r2rvert.

Passo 2

Para x^2+y^2=49 reconhecemos de imediato que se trata de uma circunferência com centro em (0,0) e raio
r1=7
Na equação geral
x^2+y^2-6x-8y+21=0
completamos quadrados:
x^2-6x + y^2-8y = -21
(x-3)^2-9 + (y-4)^2-16 = -21
(x-3)^2+(y-4)^2 = 9+16-21 = 4,
logo o centro é (3,4) e o raio
r2=2

Passo 3

Calculamos a distância entre centros:
d = raiz(3-0)^2+(4-0)^2 = raiz9+16 =5
Como
r1+r2=7+2=9, lvert r1-r2rvert =7-2=5,
vemos que
lvert r1-r2rvert = d < r1+r2
O caso d = lvert r1-r2rvert caracteriza tangência interna.

Resposta

Tangentes interiormente.

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