Qual é a posição relativa de λ e λ^prime nos seguintes casos:
λ: 4 x^2+4 y^2-4 y-3=0
e λ^prime: x^2+y^2-y=0

Passo 1

O enunciado nos dá duas circunferências
lambda:4x^2+4y^2-4y-3=0
e
lambda':x^2+y^2-y=0
e pede sua posição relativa (isto é, se se intersectam, se são tangentes, concêntricas, etc.). Para isso, vamos colocar cada equação na forma padrão
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2
e comparar centros e raios.

Passo 2

Reescrevendo lambda: dividimos a equação por 4 para facilitar a identificação do centro e do raio, ficando
x^2+y^2-y-tfrac34=0
Agora completamos o quadrado em y:
y^2-y = l(y-tfrac12r)^2-tfrac14,
logo a equação vira
x^2 + l(y-tfrac12r)^2 - tfrac14 - tfrac34 = 0 Longrightarrow x^2 + l(y-tfrac12r)^2 = 1
Dessa forma, para lambda temos
centro O=(0,tfrac12) e raio r=1.

Passo 3

Reescrevendo lambda': a equação é
x^2+y^2-y=0
Completar o quadrado em y:
y^2-y = l(y-tfrac12r)^2-tfrac14,
então
x^2 + l(y-tfrac12r)^2 - tfrac14 = 0 Longrightarrow x^2 + l(y-tfrac12r)^2 = tfrac14
Logo, para lambda' temos
centro O'=(0,tfrac12) e raio r'=tfrac12.

Passo 4

Calculamos a distância entre os centros:
d = raiz(0-0)^2 + l(tfrac12-tfrac12r)^2 = 0
Comparando com os raios, temos lvert r - r'rvert = 1 - tfrac12 = tfrac12. Note que
d = 0 < lvert r - r'rvert = tfrac12,
o que indica que as circunferências são concêntricas e não se interceptam: a menor está inteiramente no interior da maior.

Passo 5

Concluímos, portanto, que lambda e lambda' são concêntricas (mesmo centro) e lambda' está contida no interior de lambda, sem pontos em comum.

Resposta

As circunferências são concêntricas, com centro em l(0,tfrac12r), e lambda' (raio tfrac12) está totalmente contida dentro de lambda (raio 1), sem interseções.

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